Задача об упругом столкновении гантели со стеной.

[elenheru.]

Доброго времени суток.
У меня возникли трудности с решением задачи из области классической механики.
Задачу я разделю на две части.

Постановка первой части.
На плоскости дана система из двух одинаковых однородных массивных шаров, центры которых соединены невесомым нерастяжимым и несжимаемым стержнем пренебрежимо малой толщины(далее для обозначения системы также употребляется термин гантель). Таким образом, расстояние между центрами шаров постоянно, оно меньше чем удвоенный диаметр шара, и шар как целое тело не вращается относительно своего геометрического центра.
Рассмотрим ситуацию абсолютно упругого столкновения этой пары шаров с неподвижной прямой стенкой бесконечной длины. Пусть известно расположение стенки, координаты шаров в момент столкновения со стенкой, а также скорости шаров в момент очень близкий к столкновению (до столкновения). Случай одновременного удара обоих шаров не рассматривается. Вопрос в том, какими будут скорости шаров спустя очень малое время после столкновения. Трение отсутствует, силы тяжести или сопротивления среды отсутствуют.

Постановка второй части.
Даны две одинаковые пары шаров. Известны их координаты и скорости перед столкновением, и требуется найти их скорости в момент “сразу после” столкновения.
По случаю с двумя гантелями принимаются советы, но к его решению я решил приступать только по завершении первой части задачи.

В процессе решения первой части я сделал следующее:
Пусть А – шар, который сталкивается со стенкой и B – второй шар. Выберем систему координат таким образом, что ось $X_{1}$ направлена по стенке, причем $x^A_{1} = 0$, ось у так, чтобы координаты шаров были положительны . Тогда скорости шаров в момент перед столкновением запишутся как:
$ V^A_{1} = V_{1c} $ $ + \omega \cdot d \cdot s_{A} \cdot \sin (\theta_{AB}) $
$ V^A_{2} = V_{2c} $ $ + \omega \cdot d \cdot s_{A} \cdot (-\cos (\theta_{AB}))$
$ V^B_{1} = V_{1c} $ $ + \omega \cdot d \cdot s_{B} \cdot \sin (\theta_{AB})$
$ V^B_{2} = V_{2c} $ $ + \omega \cdot d \cdot s_{B} \cdot (-\cos (\theta_{AB}))$
,где $\omega$ - угловая скорость ; $V_{1c}$ и $V_{2c}$ - компоненты скорости центра масс ; $d$ - расстояние от центра масс до центра шара ; $s_{A}=-s_{B}$ - коэффициенты равные по модулю единице, введённые для удобства чтобы не ошибиться со знаком результата векторного произведения; $\theta_{AB}$ - угол между осью $X_{1}$ и лучом $AB$ ; $V^A_{1} $ - скорость шара A в направлении $X_{1}$

Далее, следует то, в чем я уже не уверен.

Первый этап столкновения состоит в том, что компонента скорости шара $A$ по оси $X_{1}$ меняет знак.
$ V'^A_{1} = V_{1c} $ $ + \omega \cdot d \cdot s_{A} \cdot \sin (\theta_{AB})$
$ V'^A_{2} = - V_{2c} $ $ - \omega \cdot d \cdot s_{A} \cdot (-\cos (\theta_{AB}))$
$ V'^B_{1} = V_{1c}$ $ + \omega \cdot d \cdot s_{B} \cdot \sin (\theta_{AB})$
$ V'^B_{2} = V_{2c}$ $ + \omega \cdot d \cdot s_{B} \cdot (-\cos (\theta_{AB}))$
Далее требуется соблюсти условие того, чтобы в “следующий” момент времени шар $B$ находился на том же расстоянии от шара $A$ что и в предыдущий. У меня появились две версии того как это можно выполнить.

По версии 1, которая, как мне кажется, следует из закона сохранения импульса, этого можно достичь в том случае если сразу после столкновения, проекции скоростей шаров на луч $AB$ будут одинаковыми, за счет перераспределения скорости в этом направлении, так как шар $A$ может действовать на шар $B$ только в этом направлении.

Версия 2, которая, как мне кажется, также следует из закона сохранения импульса. Скорости шаров должны быть разложены на скорость центра масс и скорость вращения. В процессе свободного движения гантели полусумма скоростей шаров даёт скорость центра масс, а полуразность – вращательную компонента того из шаров, чья скорость берется с положительным знаком в процессе вычитания. Поэтому если для получившихся после изменения компоненты скоростей взять векторную полусумму, то она будет равна скорости движения центра масс системы после столкновения.

Я готов предоставить мои выкладки по просьбе участников, или если это требуется по правилам, но не прикрепляю их к данному сообщению, так как это может оказаться ненужным.
В соответствии с версией 1, я попытался рассчитать движение системы в libre office аналоге excel, но мне не удалось добиться сохранения энергии после столкновения. Вероятно я допустил техническую ошибку(ошибки). Но возможно, что я иду по неверному пути решения.
Вопрос состоит в том, верна ли версия 1, верна ли версия 2, и каким образом можно решить задачу если неверна ни одна из них? Какой закон сохранения требуется использовать, чтобы получить ответ?
Кроме того, если вам очевиден способ решения этой задачи через, например, аппарат теоретической механики, то прошу также дать наводящие советы.
Если известен пример из литературы где решается такая задача, то также прошу поделиться ссылкой или фамилией автора.
Поиск по форуму по запросам "столкновение шаров" и "гантель" не дал подходящих результатов.

Спасибо за внимание.

[fred1996]

elenheru.
Честно говоря ваш текс прочитал наискосок.
Первое что бросилось в глаза - вы утверждаете, что скорость слалкивающегося шара просто меняет знак. Это справедливо в случае одиночного шара просто исходя из закона сохранения энергии и перпендикулярности силы плоскости стенки. Если у вас этот шар жестко связан с другим шаром, такой фокус уже не проходит, потому что в жесткой конструкции в соударении участвуют сразу все элементы.
Теперь опишу общий подход в задачах на такие столкновения.
Поскольку ЦТ гантельки движется строго по оси, перпендикулярной поверхности стенки и в процессе сойдарения считаем, что силы трения отсутствуют, сила взаимодействия со стенкой тоже направлена по этой оси.
Таким образом вся динамика движения гантельки описывается скоростью ее ЦТ и угловой скоростью вращения, которые заданы до соударения и надо найти после.
То есть грубо говоря найти два уравнения, связывающие эти переменные.
Одно уравнение у нас уже есть - это закон сохранения энергии.
Второе уравнение должно каким-то образом связать изменения импульсов. При том, что силы неизвестны. Зато нам известно, что в процессе удара нашей конструкции сообщается некий конечный горизонтальный импульс $p=\int\limits_{}^{}Fdt$. Казалось бы, вот и неопределенность.
Мы не знаем поведения силы со временем. Но в данной задаче это и не требуется.
Все что требуется, это знание того, что импульс очень короткий. Поэтому геометрия удара не успевает измениться существенным образом. А геометрия удара, это угол, образующий направление оси гантельки к плоскости во время удара. Вот этот короткий, но конечный импульс $p$ ответственен одновременно и за изменение продольного импулься гантели, и за изменение его вращательного момента.
Иными словами они строго пропорциональны. Вот это уравнение пропорциональности и представляет собой второе искомое уравнение. А угол ориентации гантельки во время удара - дополнительный параметр.

-- 09.04.2018, 06:58 --

Кстати, все время забываю про второй подход. Второе уравнение может быть вытащено из того факта, что в процессе удара не изменяется момент количества движения относительно точки соударения.

[elenheru.]

fred1996

Цитата:

вы утверждаете, что скорость слалкивающегося шара просто меняет знак

Такая мысль возникла потому, что если считать, что в продольном направлении стержень имеет конечную жесткость, то при очень малых значениях жесткости будем иметь как раз ситуацию в которой шар $B$ почти не влияет на процесс столкновения.
Кроме того, это было только первым этапом описания столкновения. Вполне ясно, что это не единственный результат столкновения.

Цитата:

Поскольку ЦТ гантельки движется строго по оси, перпендикулярной поверхности стенки

К сожалению это не так, угол между $\vec V_c$ и $X_{1}$ может быть различным.

Спасибо за ответ, попробую воспользоваться ЗСЭ и ЗСМИ. По крайней мере по количеству переменных и уравнений возможность такого решения просматривается.

[fred1996]

elenheru. в сообщении #1302819 писал(а):

fred1996

Цитата:

Поскольку ЦТ гантельки движется строго по оси, перпендикулярной поверхности стенки

К сожалению это не так, угол между $\vec V_c$ и $X_{1}$ может быть различным.

Сожалеть тут не о чем. Наличие горизонтального импульса картинки не меняет. Он вообще сохраняется при ударе. Поэтому на решение вообще никак не влияет.