Снова делимость

[wrest]

Батороев в сообщении #1302757 писал(а):

Но в пятую степень возводить наверное не обязательно. Например:

Тут же вопрос был

xjar1 в сообщении #1301382 писал(а):

Но как получить это равенство на бумажке без калькуляторов и банальных пересчетов?

На него много ответов, ваш тоже подходит.
Касательно возведения в 5-ю степень, то нас интересует только последняя цифра, а это делается в уме.

Батороев в сообщении #1302757 писал(а):

Для проверки делимости на $5$ можно расписать: $x^5-x = x(x^2-1)(x^2+1)$ и, рассмотрев окончания квадратов чисел, убедиться, что один из этих трех множителей обязательно делится на $5$.

Дык можно конечно. Тут надо сделать таблицу из трех колонок, с последними цифрами чисел $x;(x^2-1);(x^2+1)$ для $x$ от $1$ до $9$ ($5$ можно пропустить :)) и сделать вывод что таки да, один из сомножителей оканчивается на $5$ или $0$... Ну уж проще ли это чем сделать таблицу с последними цифрами чисел $x;x^5$ для тех же $x$ от $1$ до $9$ -- не знаю...

[mihiv]

Можно доказать без МТФ: если $a+b+c$ делится на $6p$, то и $a^p+b^p+c^p$ делится на $6p$, где $p$ простое $\geq 5$.