НОД делится на любой ОД

[CMTV]

Нужно доказать теорему:

Наибольший общий делитель $D$ чисел $a_1,\cdots,a_n$ делится нацело на любой общий делитель $d$.

Доказательство:

Пусть $d'|D$. Получается, что произвольное $a_i$ делится нацело на $D$, а $D$ делится нацело на $d'$.
Из транзитивности делимости нацело имеем, что $a_i$ делится нацело на $d'$, то есть $d'$ - общий делитель.

Мы доказали, что множество всех делителей числа $D$ есть подмножество множества всех делителей чисел $a_1,\cdots,a_n$.

Осталось показать, что произвольный общий делитель $d$ чисел $a_1,\cdots,a_n$ также является делителем $D$.
Но я не понимаю, как это сделать.

(желательно без использования основной теоремы арифметики)

[ex-math]

Вы знаете про линейное представление НОД? Что НОД есть линейная комбинация $a_i$ с целыми коэффициентами.

[iifat]

Как вариант — от противного. Вот представьте себе, что есть общий делитель, на который не делится НОД...