Дифференциальная геометрия

[Аленушка]

Есть винтовая линия. Надо найти:
1. ее уравнение
2. уравнение касательной
3. уравнение кривой, которая зачерчивается касательными
4. угол между касательными и плоскостью XY.
Книжки читала, но как-то там очень все сложно.

[cepesh]

Аленушка
Вопрос персонально Вам. Что такое винтовая линия? Что такое уравнение линии в пространстве? Как найти касательную к кривой в пространстве? Что значит, что "кривая зачерчивается касательными"?

[Аленушка]

cepesh писал(а):

Аленушка
Вопрос персонально Вам. Что такое винтовая линия? Что такое уравнение линии в пространстве? Как найти касательную к кривой в пространстве? Что значит, что "кривая зачерчивается касательными"?

Могу только предположить.
Винтовая линия - типа спирали (если на цилиндр наматывать проволоку).
Уравнение линии в пространстве - написать аналитическую формулу (есть же уравнения для цилиндра, эллипса и т.д. и т.п.).
Касательную находить как в матане, с помощью производных.
А вот последний вопрос - без комментариев, я сама не знаю.

[PAV]

Без точного определения все равно не выйдет.

Сначала предположим, что проволка наматывается на плоский круг радиуса R, лежащий в плоскости XY с центром в нуле. Его параметризация задается формулами $x = R\cdot\cos\phi$, $y = R\cdot\sin\phi$. Если говорить более точно, то нужно задать скорость, с которой проволока наматывается. Это фактически означает задать параметризацию $\phi$, т.е. некоторую монотонную функцию $\phi=\phi(t)$, где t - параметризующая переменная. Ну, в простейшем случае можно задать движение с постоянной скоростью, т.е. положить $\phi(t) = at$, где a - скорость. Скорей всего, можно считать a=1 и R=1.

Теперь, чтобы получить винтовую линию, нужно ввести третью переменную z. По ней должно быть монотонное движение вверх, т.е. нужно задать $z=z(t)$. Если опять-таки считать, что движение с постоянной скоростью, то можно считать $z=bt$, где значение скорости b тоже, вероятно, можно считать равной 1. Это будет соответствовать наматыванию проволоки на цилиндр, направляющая которого ортогональна плоскости XY.

[lt3km]

Не ну есле память не подводит винтовая линия - это кривая с постоянными кривизной и кручением. а все остальное вроде из опрделений получается.

[lt3km]

Вот параметризованное представление
x=a*cos(t)
y=a*sin(t)
z=bt

x`=-a*sin(t)
y`=a*cos(t)
z`=b

ну а угол между плоскостью и кривой имментся ввиду что в каждой точке t считаем угол между плоскостью z=0 и касательным векторм... как в линале

[Someone]

lt3km писал(а):

Не ну есле память не подводит винтовая линия - это кривая с постоянными кривизной и кручением. а все остальное вроде из опрделений получается.

Мне встречались термины "цилиндрическая винтовая линия" и "коническая винтовая линия". Они задаются параметрическими уравнениями

$$\begin{cases}x=R\cos t,\\y=R\sin t,\\z=ht\end{cases}$$

и

$$\begin{cases}x=Rt\cos t,\\y=Rt\sin t,\\z=ht.\end{cases}$$

[Аленушка]

Я у препода спросила, вот что сказал.
Винтовая линия-спираль со следующими параметрами: скорость вращения, скорость движения вверх (вниз). Движение вверх (вниз) происходит по оси Z.

[PAV]

Тогда нужно взять первую систему из написанных Someone, возможно убрать из нее R (про радиус препод не сказал, возможно считается что он равен единице). А добавить нужно константу a в тригонометрические функции, т.е. должно быть $\cos (at)$ и $\sin (at)$. Параметр $a$ задает скорость вращения, а параметр $h$ - скорость движения вдоль оси Z.

[Аленушка]

А как быть с тем, что зачерчивается этимим касательными?

[PAV]

Ну, это рассчитать надо. Напишите уравнение касательной, параметризованной значением t, отвечающей за точку, в которой проведена касательная. Второй параметр будет задавать точку на самой касательной. Вместе они должны параметризовать некоторую двумерную поверхность.

[PSP]

PAV писал(а):

Ну, это рассчитать надо. Напишите уравнение касательной, параметризованной значением t, отвечающей за точку, в которой проведена касательная. Второй параметр будет задавать точку на самой касательной. Вместе они должны параметризовать некоторую двумерную поверхность.

Эта поверхность называется геликоид..Дьявольски интересная штука!...

[PSP]

Someone писал(а):

lt3km писал(а):

Не ну есле память не подводит винтовая линия - это кривая с постоянными кривизной и кручением. а все остальное вроде из опрделений получается.

Мне встречались термины "цилиндрическая винтовая линия" ". Она задаётся параметрическими уравнениями

$$\begin{cases}x=R\cos t,\\y=R\sin t,\\z=ht\end{cases}$$

Здесь в самом общем случае можно взять эллиптические функции Якоби..

[PSP]

PSP писал(а):

Someone писал(а):

lt3km писал(а):

Не ну есле память не подводит винтовая линия - это кривая с постоянными кривизной и кручением. а все остальное вроде из опрделений получается.

Мне встречались термины "цилиндрическая винтовая линия" ". Она задаётся параметрическими уравнениями

$$\begin{cases}x=R\cos t,\\y=R\sin t,\\z=ht\end{cases}$$

Здесь в самом общем случае можно взять эллиптические функции Якоби..

Кстати, а винтовая линия экстремалью какого функционала является?

[Руст]

Для любого семейства кривых удовлетворяющих одному и тому же дифференциальному уравнению $r^{(k)}=f(r,r',r'',...)$ можно считать, что

$$\int_{r_0}^{r_1}(r^{(k)}(t)-f(r,r',r'',...))^2dt \to \min $$