Нормальность подгрупп при условии (проверка утверждений)

[gogoshik]

$G$ - группа порядка $pq$, где $p>q$ - простые числа. Пусть $F$ - подгруппа в $G$ порядка $p$, $H$ - подгруппа в $G$ порядка $q$. Нужно найти верные утверждения при таких условиях: 1) подгруппа $F$ всегда нормальна; 2) подгруппа $H$ всегда нормальна; 3) нельзя утверждать, что $F$ или $H$ нормальны.
Что то внутри подсказывает, что правильный ответ это пункт 2 - подгруппа $H$ всегда нормальна, так как $q$ - наименьший простой делитель порядка группы $G$.
Так ли это? Помогите, плиз!

[AV_77]

Воспользуйтесь 3-й теоремой Силова и найдите возможное число $p$- и $q$-подгрупп.

[gogoshik]

Хм... Была теорема Лагранжа. Теорем Силова не было. Но я посмотрю про эти теоремы и напишу... Спасибо!

Я кстати чуть не верно записал саму задачу. Задачу нужно понимать так. При заданном условии нужно выбрать из трех утверждений правильные: 1) подгруппа $F$ всегда нормальна; 2) подгруппа $H$ всегда нормальна; 3) нельзя утверждать, что $F$ или $H$ нормальны. Думаю, что Вы правильно поняли!

[iou]

gogoshik в сообщении #1199468 писал(а):

Что то внутри подсказывает, что правильный ответ это пункт 2 - подгруппа $H$ всегда нормальна, так как $q$ - наименьший простой делитель порядка группы $G$.

Посмотрим на группу $S_3$, её порядок $6=2 \cdot 3$, но у неё целых три подгруппы порядка $2$, порожденных соотв. транспозициями (почему их три, Вы, кстати, тоже поймете, когда прочитаете про теорему Силова), поэтому это неверно. Но это утверждение станет верным, если заменить слово "порядок" на слово "индекс". И верно это не только для групп порядка $pq$, а для любой конечной группы.

[A.M.V.]

В итоге каков верный ответ?

[vpb]

Пусть у нас есть группа $G$ и в ней две подгруппы $A$ и $B$, и пусть $AB$ обозначает множество всех элементов, которые можно представить в виде $ab$, где $a\in A$ и $b\in B$. Покажите, что любой элемент из $AB$ представляется в таком виде ровно $|A\cap B|$ способами. Затем покажите, что $|AB|=|A||B|/|A\cap B|$. Наконец выведите отсюда (от противного), применительно к условиям задачи, что $F$ нормальна.

(Достаточно даже частного случая, которым можно и ограничиться: если $A$, $B$ --- две подгруппы в $G$, пересекающиеся только по единице, то $|AB|=|A||B|$. Еще такое предупреждение: такое "произведение" двух подгрупп в группе само не обязательно явлется подгруппой.)

[vpb]

Тьфу, блин, только сейчас заметил, что тема годичной давности! Это ж надо так!