Метод малого параметра

[prime]

Здравствуйте!

В задачнике Филиппова есть несколько заданий на поиск приближенного решения
периодического решения уравнений вида:
$\ddot{x} + a^2 x = f(t, x, \dot{x}, \mu)$
методом малого параметра.

Например, есть задача с уравнением
$\ddot{x} + 3 x + x^3 = 2\mu \cos t$.

Согласно методу малого параметра приближенное периодическое решение
данного уравнения ищется в виде ряда:
$x(t, \mu) = v_0(t) + v_1(t) \mu + v_2(t) \mu^2 + o(\mu^2)$,
где функции $v_i(t)$ должны быть периодическими с периодом равным
периоду функции $\cos t$, т.е. $2\pi$.

Подставляя представление решения в виде ряда в уравнение,
и приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях $\mu$,
получим три уравнения. Выпишем первое из них (при $\mu^0$):

$$ \ddot{v}_0 + 3 v_0 + v_0^3 = 0. \eqno{(1)} $$

Уравнение (1) - нелинейное.
Возможно я ошибаюсь, но в задачнике Филиппова нет методов решения
этого уравнения. В общем я не представляю как его решить (= найти общее решение).

Напомню, что нам нужно найти $2\pi$-периодические решение уравнения (1).
Одно периодическое решение можно угадать: $v_0 \equiv 0$.
В ответе к задаче указано это решение.
В связи с этим у меня есть два вопроса:

1) Можно ли показать единственность периодического решения уравнения (1)?
2) Можно ли найти общее решение уравнения (1)?

[pogulyat_vyshel]

домножаем левую и правую часть на $\dot v_0$ выписываем интеграл энергии, рисуем график потенциальной энергии , строим фазовый портрет Прям как на уроке физики

[dsge]

2) это уравнение дюффинга, решается в спецфункциях - эллиптические Якоби.
1) будет бесконечно (счетно) много периодических решений с данным периодом - Резонансы к неавтономной части с кратными частотами.

[pogulyat_vyshel]

dsge в сообщении #1301263 писал(а):

2) это уравнение дюффинга, решается в спецфункциях - эллиптические Якоби.
1) будет бесконечно (счетно) много периодических решений с данным периодом - Резонансы к неавтономной части с кратными частотами.

что-то какой-то подозрительно исчерпывающий ответ для хаотической гамильтоновой системы

[dsge]

Там про нулевое приближение (1) (автономное уравнение). А так, для неавтономной системы весь хаос будет сосредоточен в малой окрестности резонансов, при малом параметре.

[pogulyat_vyshel]

dsge в сообщении #1301328 писал(а):

Там про нулевое приближение (1) (автономное уравнение).

Если вы про интегрируемость в функциях Якоби писали в связи с невозмущенным уравнением то ok

dsge в сообщении #1301328 писал(а):

А так, для неавтономной системы весь хаос будет сосредоточен в малой окрестности резонансов, при малом параметре.

в невозмущенной системе резонансные торы лежат всюду плотно. При возмущении в хаотических слоях между колмогоровскими торами содержится куча периодических решений разного периода. Думаю, что в возмущенной системе дать сколько-нибудь полное описание периодических решений невозможно

[dsge]

pogulyat_vyshel в сообщении #1301373 писал(а):

Думаю, что в возмущенной системе дать сколько-нибудь полное описание периодических решений невозможно

Вроде, для выписанного ТС уравнения у Гукенхеймера и Холмса "Нелинейные колебания и бифуркации..." дано довольно полное исследование.

[pogulyat_vyshel]

Насколько я понял, у Гукенхеймера и Холмса рассматривается существенно другая задача. Во первых, в книжке в уравнении Дуфинга присутствует диссипативный член. Во-вторых, в невозмущенной задаче имеется седловая точка с асимптотическими многообразиями. И далее периодические решения обсуждаются именно из окрестности трансверсально пересекшихся при возмущении асимптотических многообразий. Это, конечно, не новость, но из сказанного не следует, что нет других периодических решений, кроме тех, что найдены их методами. Например, в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы имеются периодические решения в лунках между сепаратрсами. А в той задаче, что рассмотрена в книжке есть такие решения или нет?

У ТС уравнение (1) это гамильтонова система у которой все решения периодичны. И возмущение гамильтоново. При малом гамильтоновом возмущении такой системы картина сложнее (потому, что теория возмущений уже не работает в принципе) и менее изучена. Например, вы пишите про счетное множество периодических решений. А это из чего следует, что оно счетно? А почему не более чем счетно?

[dsge]

pogulyat_vyshel в сообщении #1301421 писал(а):

Во-вторых, в невозмущенной задаче имеется седловая точка с асимптотическими многообразиями... А в той задаче, что рассмотрена в книжке есть такие решения или нет?

Может быть, не помню. Но они ссылаются на работу Морозова (1973), где рассмотрение более подробное, в том числе возмущение центра. У его в случае возмущенного центра в резонансах рождаются седловые периодические решения в количестве порядок резонанса + 1, а между ними центры.

pogulyat_vyshel в сообщении #1301421 писал(а):

Например, в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы имеются периодические решения в лунках между сепаратрсами.

Если сепаратрисы пересекаются трансверально, то все эти решения будут седловые и замыкание их сепаратрис образует гиперболическое инвариантное множество. Для уравнения Дюффинга пересечения будут трансверсальны, это тоже Морозов показал.
А если сепаратрисы пересекаются нетрансверально, то в инвариатное множество будут еще "вкраплены" устойчивые периодические решения в счетном количестве.

pogulyat_vyshel в сообщении #1301421 писал(а):

Например, вы пишите про счетное множество периодических решений. А это из чего следует, что оно счетно? А почему не более чем счетно?

Это было опять про невозмущенное уравнение, чем дальше от начала, тем выше частота колебаний. Причем частота растет монотоно и до бесконечности, периоду $T= 2\pi$ будут соответствовать частоты $\omega_k= 1, 2, 3, \dots$

[pogulyat_vyshel]

dsge в сообщении #1301434 писал(а):

У его в случае возмущенного центра в резонансах рождаются седловые периодические решения в количестве порядок резонанса + 1, а между ними центры.

Да, и седловые решения соединены сепаратрисами в первом порядке теории возмущений, а вообще-то эти сепаратрисы тоже расщепляются и в их окрестности тоже живут периодические решения и т. д. Вот поэтому я и говорю, что полного описания в случае хаоса пролучить не удается.

dsge в сообщении #1301434 писал(а):

Если сепаратрисы пересекаются трансверально, то все эти решения будут седловые

это неверно Treschev Dmitry, Zubelevich Oleg. Introduction to the Perturbation Theory of Hamiltonian Systems

[dsge]

pogulyat_vyshel в сообщении #1301440 писал(а):

а вообще-то эти сепаратрисы тоже расщепляются и в их окрестности тоже живут периодические решения и т. д. Вот поэтому я и говорю, что полного описания в случае хаоса пролучить не удается.

Да, возможно, что еще вторичные сепаратрисы пересекаются с первичными и т.д., там черт те что получается.

pogulyat_vyshel в сообщении #1301440 писал(а):

это неверно Treschev Dmitry, Zubelevich Oleg. Introduction to the Perturbation Theory of Hamiltonian Systems

В интернете находится только Глава 4, но там этого нет. Интуиция, конечно, скорее обманывает в таких случаях.