Решение упражнений: предел последовательности

[Ivan_B]

Начал прорешивать упражнения по теме предел последовательности. Хочу проверить на верном ли я пути.
Прошу проверить мои решения(как если бы это было на экзамене), и правильность выбора упражнений(я выбирал наугад из Демидовича). Специальность Математика.
42. Доказать, что $x_n$ есть бесконечно малая, указав для всякого $\varepsilon > 0$ число $N=N(\varepsilon)$ такое, что $|x_n|<\varepsilon$ при $n>N$, если $x_n=\frac{1}{n!}$
Решение. $0 < \frac{1}{n!} \leqslant \frac{1}{n}$ поэтому достаточно взять $N = \frac{1}{\varepsilon}$

49. $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}} = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{1+\left(-\frac{2}{3}\right)^n}{1+\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}}$
Числитель и знаменатель имеют предел, предел знаменателя не $0$, поэтому исходный предел будет равен отношению пределов числителя($1$) и знаменателя($1$)
Ответ $\frac{1}{3}$

56. $\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}\right] = \lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = \lim\limits_{n \to \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$

Доказать
58. $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{2^n}=0$
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}$
Значит с некоторого $N$ $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ будет меньше любого заданного $\frac{1}{2}<q<1$, откуда $x_{N+i} < x_Nq^i$
$q^i$ сколь угодно мало, исходя из того, что $\left(\frac{1}{q}\right)^i$ сколь угодно велико, что можно доказать от противного:
пусть $a=\frac{1}{q}, a^i$ ограничено, тогда у него есть точная верхняя граница $s$, поскольку граница точная, найдется $i$ такое что $\frac{s}{a} < a^i$, что приводит к противоречию $s<a^{i+1}$.
Тогда $\lim\limits_{i \to \infty}x_Nq^i = 0$. Тогда и $x_n$ сколь угодно мало.

[thething]

Ivan_B в сообщении #1301153 писал(а):

49. $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}$

Предел потеряли?

-- 02.04.2018, 18:46 --

Ivan_B в сообщении #1301153 писал(а):

56. $\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}\right] = \lim\limits_{n \to \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$

Тут просите проверить, а сами решения не приводите

-- 02.04.2018, 18:51 --

Ivan_B в сообщении #1301153 писал(а):

Доказать
58. $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{2^n}=0$

Тут можно по критерию Вейерштрасса доказать: доказывает, что $\left\lbrace x_n\right\rbrace$ монотонно убывает и ограничена снизу. Выражаете $x_{n+1}$ через $x_n$ и переходите к пределу. Коротко и ясно.

[Ivan_B]

thething в сообщении #1301155 писал(а):

Предел потеряли?

thething в сообщении #1301155 писал(а):

Тут просите проверить, а сами решения не приводите

Исправил.

thething в сообщении #1301155 писал(а):

Тут можно по критерию Вейерштрасса доказать

Понял. Так в Зориче сделано, но я когда писал не подглядывал.

[thething]

Еще, в 49, чтоб было совсем корректно, надо минусы занести под степени, либо написать $(-1)^n$

А чтобы было совсем, как на экзамене, нужно еще упомянуть свойство произведения бесконечно малой на ограниченную

[Ivan_B]

thething в сообщении #1301160 писал(а):

Еще, в 49, чтоб было совсем корректно, надо минусы занести под степени, либо написать $(-1)^n$

Исправил.

thething в сообщении #1301160 писал(а):

нужно еще упомянуть свойство произведения бесконечно малой на ограниченную

Понял.

[Ivan_B]

thething
Спасибо за Ваши ответы!

Поскольку замечаний больше нет, буду считать, что я на верном пути.

Есть еще два вопроса:
1. Могут ли мне понадобится мои решения в будущем? (Вот конспект точно стоит сохранить, а упражнения - сложно сказать)
2. Сколько решений допустимо просить проверить?

[thething]

Если Вы будете решать много однотипных задач, то, думаю, решения сохранять не понадобится. Оно совершенно естественно откладывается в голове, а, когда видишь новую задачу, то понимаешь -- тут надо делать так, а можно вот так.. Если задача какая-то изощренная, нестандартная, красивая, то решение такой задачи я, например, чисто для себя сохраняю.

По поводу вопросов, не думаю, что тут есть какие-то ограничения, так что спрашивайте.

[Someone]

thething в сообщении #1301372 писал(а):

По поводу вопросов, не думаю, что тут есть какие-то ограничения, так что спрашивайте.

Обычно модераторы требуют, чтобы каждый новый вопрос задавался в новой теме, но легко можно обнаружить, что это не всегда соблюдается.

[thething]

Someone в сообщении #1301377 писал(а):

Обычно модераторы требуют, чтобы каждый новый вопрос задавался в новой теме, но легко можно обнаружить, что это не всегда соблюдается
.

Я думал, что Ivan_B что-то типа этого и имел ввиду, т.е. вопросы только по данной теме.. Если вздумается спрашивать про какие-нибудь интегралы, то это тут, конечно, не к месту.

[Pphantom]

Ivan_B в сообщении #1301321 писал(а):

2. Сколько решений допустимо просить проверить?

В одной теме стоит обсуждать однотипные вопросы одного участника. Так что если следующие решения - это тоже пределы последовательностей, то вполне можно и тут.

[Ivan_B]

Я получил ответы на все интересующие меня вопросы.
Спасибо Вам огромное за Ваши ответы!