Найти наименьшее возможное значение выражения

[Ktina]

Дано:

$$\left\{ \begin{matrix} \dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a+b}{c+d} \\ a, b, c, d\in\mathbb{Z} \end{matrix} \right.$$

Найти наименьшее возможное значение выражения

$$|abcd-2018|$$

[kotenok gav]

Я нашел параметрическое решение системы:

$$a=b+ke$$

$$c=d+e$$

$$k=\frac{2b+ke}{2d+e}$$

$$2dk+ke=2b+ke$$

$$b=kd$$

$$a=k(d+e)$$

$$c=d+e$$

А дальше производной, наверно?

[Ktina]

kotenok gav
Ой, а зачем такие сложности? Эта задача - для младших классов, знание производной здесь не требуется.

[kotenok gav]

Ладно.
Очевидно, abcd не свободно от квадратов (так как оно равно $k^2(d+e)^2d$.
Ближайшее такое число к 2018 - $2016=12^2\times 14$.
К 2016 подходит $d=14$, $k=3$, $e=-10$ - $a=12$, $b=42$, $c=4$, $d=14$.
Ответ - 2.

-- 02 апр 2018, 16:20 --

Ой, я потерял вариант того, что $k(d+e)$ - нецелое

-- 02 апр 2018, 16:22 --

А, этот вариант быть не может, так как a - целое. Мое решение правильное!

[Ktina]

kotenok gav в сообщении #1301036 писал(а):

Ладно.
Очевидно, abcd не свободно от квадратов (так как оно равно $k^2(d+e)^2d$.
Ближайшее такое число к 2018 - $2016=12^2\times 14$.
К 2016 подходит $d=14$, $k=3$, $e=-10$ - $a=12$, $b=42$, $c=4$, $d=14$.
Ответ - 2.

Так у Вас $abcd=28224$

[kotenok gav]

Исправление:
Очевидно, abcd является квадратом (причем числа равного произведению не меньше, чем трех простых) (так как оно равно $k^2(d+e)^2d^2$).
Ближайшее такое число к 2018 - $2025=(3\times 3\times 5)^2$.
К 2025 подходит $d=5$, $k=3$, $e=-2$ - $a=9$, $b=15$, $c=3$, $d=5$.
Ответ - 7.

[Dendr]

Простите, а почему бы не решать в одну строчку? Если просто избавиться от знаменателей, раскрыть скобки и посокращать лишнее, получится $ad=bc$. Дальше просто осталось перебрать целые квадраты.
Взяв значение 45 - и сразу предложив набор типа $a=15, b=9, c=5, d=3$ - имеем 2025-2018=7.

[Ktina]

kotenok gav
Dendr