Прохождение прямоугольного импульса через RC-цепь. Ряд Фурье

[Atom001]

Задан сигнал: однополярные прямоугольные импульсы с амплитудой $U_m=1V$, длительностью импульса $t_1=\frac{T}{2}$, с частотой $f=100 kHz$.
Задан фильтр верхних частот (два элемента - резистор и конденсатор): $R=10 k\Omega, C = 1 \mu F$.
Необходимо разложить сигнал в ряд Фурье, пропустить каждую гармонику через ФВЧ и сложить выходные сигналы, получив тем самым выходной сигнал.
Делал в маткаде. Получилась какая-то бяка. Выходной сигнал, полученный, как сумма гармоник, лишён отрицательной части импульса. Тогда, как, если посчитать переходные процессы, то на выходе должен быть отрицательный импульс. Почему так? Ничего могу понять.
На графике синим показан сигнал, полученный по расчёту переходных процессов; красным - сумма выходных сигналов при прохождении отдельных гармоник.

Уравнения теоретического выходного сигнала ($u_{theor out}$) получены в результате проведения анализа переходных процессов в цепи:
$u_1(t)=U_m e^{-\frac{t}{RC}}$
$u_2(t)=-(U_m e^{-\frac{t_1}{RC}})e^{-\frac{t}{RC}}$

Разложение в ряд Фурье проводилось по стандартным формулам:
$a_0=\frac{2}{T}\int\limits_{0}^{T}u(t)dt$

$a_n=\frac{2}{T}\int\limits_{0}^{T}u(t)\cos{(\frac{2\pi nt}{T})}dt$

$b_n=\frac{2}{T}\int\limits_{0}^{T}u(t)\sin{(\frac{2\pi nt}{T})}dt$

Уравнения гармоник в таком случае составлялись по формулам:
$u_n(t)=A_n\cos{(\frac{2\pi nt}{T}+\varphi_n)}$

где $A_n=\sqrt{(a_n)^2+(b_n)^2}$, $\varphi_n=\arg(a_n-ib_n)$

P.S. Файл маткада прикрепляю https://ru.files.fm/u/2bzgcxa9 (шаги решения снабдил комментариями)

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Междисциплинарный раздел» в форум «Механика и Техника»
Причина переноса: в подходящий раздел.

[guryev]

Навскидку: постоянная времени $RC$-цепочки на три порядка больше периода входного сигнала. Импульсы на входе однополярные, то есть, среднее значение не ноль.

Тогда, если вначале напряжение на конденсаторе равно нулю, выходной сигнал не получится периодическим. Он будет похож на прямоугольные импульсы, сложенные с экспоненциально убывающей функцией.

Разложение в ряд Фурье у вас на периоде сигнала, т.е., вместо правильного выходного сигнала будет повторение его начального участка длительностью $T$.

Теоретическое выражение для $u_2(t)$, скорее всего, неверное.

Вариантов два: либо считать начальное напряжение на конденсаторе равным $-U_m/2$ - тогда на выходе будет периодический сигнал, мало отличающийся от входного, либо разлагать в ряд Фурье на очень-очень длинном промежутке времени (тысячи $T$).

А так MatCAD всё правильно посчитал - за время $T$ влияние фильтра практически незаметно, а дальше - повторение того, что было за первое $T$.

[realeugene]

Atom001 в сообщении #1300842 писал(а):

$u_1(t)=U_m e^{-\frac{t}{RC}}$

Проверьте себя: что будет на выходе, если на входе цепочки подан 1 вольт постоянного напряжения?

[Atom001]

guryev в сообщении #1300873 писал(а):

Тогда, если вначале напряжение на конденсаторе равно нулю, выходной сигнал не получится периодическим. Он будет похож на прямоугольные импульсы, сложенные с экспоненциально убывающей функцией.

Ну да, всё так. Однако, подразумвается, что импульсы уже давно поступают, режим стал установившимся, и постоянная составляющая приняла значение, равное нулю.

guryev в сообщении #1300873 писал(а):

Разложение в ряд Фурье у вас на периоде сигнала, т.е., вместо правильного выходного сигнала будет повторение его начального участка длительностью $T$.

Значит нужно раскладывать на интервале от минус до плюс бесконечности?

realeugene в сообщении #1301057 писал(а):

Проверьте себя: что будет на выходе, если на входе цепочки подан 1 вольт постоянного напряжения?

По идее, если конденсатор к моменту подачи 1 вольта был полностью разряжен, то он начнёт заряжаться по экспоненциальному закону от 0 В до 1 В. В первый момент времени, когда на конденсаторе напряжение ещё 0 В, по второму закону Кирхгофа всё входное напряжение выделится на резисторе (тобишь на выходе схемы). Далее по мере заряда конденсатора, напряжение на резисторе будет уменьшать противофазно напряжению на конденсаторе, то есть по экспоненте. Что, вроде бы, подтверждает приведённую мной формулу.

И ещё никак не могу понять вот какую вещь. Схема одна и таже RC-цепочка с выходом на резисторе. Но с одной стороны это фильтр, который должен пропускать прямоугольный сигнал вообще без искажений. А с другой - если прямоугольники подать на такую цепь от любого генератора, то получится примерно такая картина:


То есть обязательно появится отрицательный импульс. Как тогда такое устройство вообще может являться фильтром для прямоугольника, если оно обязательно внесёт изменения в саму суть сигнала?

[Walker_XXI]

Atom001 в сообщении #1301087 писал(а):

И ещё никак не могу понять вот какую вещь. Схема одна и таже RC-цепочка с выходом на резисторе. Но с одной стороны это фильтр, который должен пропускать прямоугольный сигнал вообще без искажений.

А с какой радости такой простенький фильтр должен пропускать без искажения прямоугольный импульс, у которого, вообще говоря, сплошной спектр?

[Atom001]

Walker_XXI в сообщении #1301092 писал(а):

А с какой радости такой простенький фильтр должен пропускать без искажения прямоугольный импульс, у которого, вообще говоря, сплошной спектр?

В том то и дело, что фильтр пропускает сигнал без искажений. Сигнал, подаваемый на вход, и сигнал, полученный, как сумма гармоник, прошедших через фильтр, абсолютно идентичны. Однако, в теории должен появиться отрицательный импульс. То есть получается, что теория предсказывает появление искажений, а на практике их нема.

[realeugene]

Atom001 в сообщении #1301087 писал(а):

в саму суть сигнала

Впервые слышу про "саму суть сигнала". В радиотехнике такой термин не используется, как мне кажется.
Кстати, у вас на последней картинке нарисованы две различные схемы. Вы какую сейчас обсуждаете?

[Atom001]

realeugene в сообщении #1301108 писал(а):

Кстати, у вас на последней картинке нарисованы две различные схемы. Вы какую сейчас обсуждаете?

Ту, что слева.

[realeugene]

Слева дифференцирующая цепочка. Она не пропускает постоянную составляющую. Если постоянная составляющая в ненулевом сигнале на выходе равна нулю, то в нём обязательно должны быть как положительные, так и отрицательные импульсы.

[rascas]

Atom001 в сообщении #1301087 писал(а):

Как тогда такое устройство вообще может являться фильтром для прямоугольника

Это не фильтр для «прямоугольника», это фильтр верхних частот. Этот фильтр имеет вполне определённую АЧХ и ФЧХ. А “прямоугольник” это набор (сумма) разных частот (гармоник).

[wrest]

Atom001
У вас постоянная времени велика по сравнению с длительностью импульса, так что конденастор не будет успевать полностью заряжаться, и на выходе, в установившемся режиме, будет сигнал похожий на изображенный под буквой г) но с амплитудой 0,5 вольта.

То есть, ваш фильтр отфильтрует низкие частоты, в том числе нулевую частоту (постоянное напряжение), и на выходе будут почти прямоугольные импульсы. С учетом того, что частота импульсов у вас 100кГц, а частота среза фильтра 16Гц (т.е. частота следования импульсов больше частоты среза фильтра больше чем на три порядка), можно смело сказать, что на выходе будут в точности входные импульсы, но "опущенные" на полвольта, т.е. с размахом от -0,5В до +0,5В.

-- 02.04.2018, 16:13 --

Atom001 в сообщении #1301087 писал(а):

Значит нужно раскладывать на интервале от минус до плюс бесконечности?

Да, потому что установившийся режим у вас на самом деле установится через тысячи периодов входного сигнала.

[Walker_XXI]

Atom001 в сообщении #1301099 писал(а):

В том то и дело, что фильтр пропускает сигнал без искажений. Сигнал, подаваемый на вход, и сигнал, полученный, как сумма гармоник, прошедших через фильтр, абсолютно идентичны. Однако, в теории должен появиться отрицательный импульс. То есть получается, что теория предсказывает появление искажений, а на практике их нема.

Если сигналы идентичны, значит фильтр не работает (конденсатор пробит, резистор сгорел).
И Вы случайно не подразумеваете под "практикой" численное моделирование или расчёт, проведённые по своим формулам/алгоритмам?
Если так, то, извините, это никакая не практика. Практика - это реальная схема с реальным генератором сигналов на входе и осциллографом/анализатором спектра на выходе.

[guryev]

Atom001 в сообщении #1301087 писал(а):

подразумвается, что импульсы уже давно поступают, режим стал установившимся, и постоянная составляющая приняла значение, равное нулю.

Тогда это должно учитываться автоматически - фильтр даёт нулевой множитель на нулевой частоте. Проверьте, умножается ли нулевая гармоника на ноль. У вас на выходе явно сигнал с постоянной составляющей.

Atom001 в сообщении #1301099 писал(а):

получается, что теория предсказывает появление искажений, а на практике их нема.

Собственно, wrest уже объяснил; могу лишь добавить, что при таких параметрах отклонение выходного сигнала от прямоугольной формы будет порядка одной десятой процента - на графике не заметить.

Atom001 в сообщении #1301087 писал(а):

Значит нужно раскладывать на интервале от минус до плюс бесконечности?

В данном случае, если процесс установившийся - не нужно.

[Atom001]

realeugene в сообщении #1301125 писал(а):

Слева дифференцирующая цепочка. Она не пропускает постоянную составляющую.

Спасибо за замечание. Я упустил этот момент. Теперь, очевидно, что на выходе будет разнополярный сигнал.

wrest в сообщении #1301132 писал(а):

с амплитудой 0,5 вольта

Это я тоже упустил. Хоть я и рассмотривал установившийся режим работы, я не учёл, что на конденсаторе будет держаться некоторая постоянная составляющая, на которую будут наложены пульсации. Поэтому думал, что на резисторе напряжение в максимуме будет равно напряжению входного сигнала.

Все вопросы решены.
Спасибо всем за помощь!