Сходимость рядов: признак Коши и Даламбера

[Ivan_B]

Из Зорича стр 116,117:
Признак Коши: $\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\alpha$
Признак Даламбера: $\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\alpha$

Правильно ли я понимаю, что в признаке Даламбера можно тоже использовать $\varlimsup\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ ?

[Markiyan Hirnyk]

Да, правильно. Именно так признак Даламбера сформулирован в У. Рудин, Основы математического анализа, теорема 3.34.

[Ivan_B]

Спасибо!

[mihaild]

Не совсем так. Если $\varlimsup < 1$, то ряд сходится, но если $\varlimsup > 1$, то ряд не обязательно расходится. Например, возьмите ряд $\sum \frac{1}{2^{n + (-1)^n}} = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \ldots$ - он сходится, но $\varlimsup \frac{\frac{1}{2^{n + 1 + (-1)^{n + 1}}}}{\frac{1}{2^{n + (-1)^n}}} = 2$.

[Ivan_B]

В доказательстве используется оценка всех попарных отношений $a_1\cdot\frac{a_2}{a_1}\dots\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n$, поэтому
если $\varlimsup < 1$, то ряд сходится
если $\varliminf > 1$, то ряд расходится
иначе - ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся
Верно?

[Markiyan Hirnyk]

Ivan_B

Цитата:

ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся

Ряд или сходится или расходится. Надо высказываться точно и аккуратно: существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды с таким свойством. У. Рудин в теореме 3.34 обходится без нижнего предела, указывая условие расходимости ряда (это условие сильнее сформулированного вами и его проще проверять). Указанная выше книга Рудина доступна в Интернете, использование ее электронной версии не нарушает авторского права за давностью издания.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1300588 писал(а):

это условие сильнее

Разве - сильнее?

[Markiyan Hirnyk]

DeBill Да, сильнее. Пример - ряд $1,1,1,\dots$. Условие (b) теоремы 3.34 выполнено и она устанавливает расходимость ряда, а нижний предел отношения последующего члена ряда к предыдущему равен $1.$ Если у вас еще имеются недоуменные вопросы, пожалуйста, задавайте их.

[vpb]

Хочется обратить внимание ТС еще вот на что. Скачивание книги Рудина из Интернета, возможно, и не нарушает ничьего авторского права. Но это обстоятельство третьестепенное. Гораздо важнее то, что для начинающего эта книга подходит весьма плохо. Об этом на форуме не раз писалось, и мое мнение такое же. Гораздо лучше подходят Фихтенгольц, Зорич, Камынин. Хотя при поверхностном взгляде она, наоборот, может показаться начинающему читателю хорошей, годной. Но такое впечатление обманчиво. Впрочем, есть разные мнения. Так что, Ivan_B, читайте Зорича на здоровье!

[Markiyan Hirnyk]

vpb Разделяю ваше мнение относительно книги У. Рудина, однако доказательство теоремы 3.34 в ней простое. Возможно, что В. Зорич счел нецелесообразным усиливать формулировку признака Даламбера, т. к. признак Коши сильнее.

[Dan B-Yallay]

С тем что у Рудина признак сильней, чем у Ivan_B соглашусь. А вот это немного позабавило:

Markiyan Hirnyk в сообщении #1300588 писал(а):

Надо высказываться точно и аккуратно...

Markiyan Hirnyk в сообщении #1300646 писал(а):

Пример - ряд $1,1,1,\dots$.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1300588 писал(а):

обходится без нижнего предела, у

ААА, это надо было понимать как "вааще безо всякого предела"....
Пришлось посмотреть у Рудина - и он - да, снял таки недо-умение.

[Markiyan Hirnyk]

Dan B-Yallay
Спасибо. Должно быть $1+1+1+1\cdots .$

-- 31.03.2018, 19:19 --

DeBill
Скажите пожалуйста, правильно ли я понял, что вы задали вопрос "Разве?", не посмотрев условие теоремы 3.34 из цитированной книги У. Рудина.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk
Увы, да: я всецело ориентировался на Вашу фразу

Markiyan Hirnyk в сообщении #1300588 писал(а):

У. Рудин в теореме 3.34 обходится без нижнего предела, указывая условие расходимости ряда

, ошибочно истолковав ее содержание.

[Ivan_B]

Спасибо всем за Ваши ответы, они мне очень помогли!