Количество делителей, равное степени простого числа

[Ktina]

Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых число делителей равно степени простого числа с натуральным показателем?

Теоретически не может быть больше 15, это несложно доказать.
Среди первой сотни встречаются 11 таких чисел подряд - с 33 по 43.
У меня такое ощущение, что и 12 подряд быть не может.
Как бы это доказать или опровергнуть?

[waxtep]

Можно $15$ подряд, методом научного тыка нашел такой пример: $(2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot31\cdot37\cdot43\cdot47\cdot53)^2-7\ldots+7$, вольфрам
Ktina, а как Вы доказываете, что больше $15$ нельзя, намекнете?

[Ktina]

waxtep в сообщении #1299609 писал(а):

Можно $15$ подряд, методом научного тыка нашел такой пример: $(2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot31\cdot37\cdot43\cdot47\cdot53)^2-7\ldots+7$, вольфрам
Ktina, а как Вы доказываете, что больше $15$ нельзя, намекнете?

Вам большое спасибо!

А доказываю я так:
Среди 16 подряд идущих есть два, дарамдаш остаток 4 при делении на 8. Дальше понятно? Или продолжить?

-- 25.03.2018, 15:34 --

В общем, эти два должны быть оба квадратами (если непонятно, почему, спрашивайте). Но двух таких квадратов не бывает.

-- 25.03.2018, 15:36 --

(Оффтоп)

Наверняка Эрдёш нашёл бы ещё более элегантное док-во, только вот завтра у него день рождения, а он уже "Изя всё"

[waxtep]

Ага, спасибо, попробую завершить доказательство.
Нашел еще один пример, где $15$ подряд: $\times97$ под квадратом в первом примере.
Но черт бы меня побрал, если я понимаю, почему эта комбинация работает, а очень похожие соседние - нет!

[Ktina]

waxtep в сообщении #1299658 писал(а):

Ага, спасибо, попробую завершить доказательство.
Нашел еще один пример, где $15$ подряд: $\times97$ под квадратом в первом примере.
Но черт бы меня побрал, если я понимаю, почему эта комбинация работает, а очень похожие соседние - нет!

Мне тут подсказали, что:

Цитата:

... А именно, числа от 893 до 907 включительно дают количество делителей, равное соответственно 4, 8, 4, 16, 8, 4, 4, 27, 4, 8, 8, 8, 4, 8, 2. Интересно, что простое число тут всего одно. У 900 имеется 27 делителей, по 4 делителя имеют числа вида $pq$. Значение 16 приходится на $896=2^{7}7^{1}$. Ещё 8 делителей имеет $904=2^{3}113^{1}$. Остальные числа с 8 делителями имеют вид $pqr$.

[waxtep]

Ktina в сообщении #1299668 писал(а):

Мне тут подсказали, что:

Удивительно, как я умудрился пропустить $900$, перебирая квадраты примориалов! Это же буквально следующее такое число за $36-3\ldots+7$ из Вашего исходного поста. Видимо, вольфрам развращает
Квадратно-примориальная тема, кстати, ломается на $23\#^2$, там всего лишь четыре последовательных числа хороши, $23\#^2-3\ldots+0$, а, для всех младших, не менее (как оказалось) $11$, $p\#^2-3\ldots+7$

[Ktina]

waxtep
Ну так Вы доказательство поняли, или всё-таки объяснить?
Я про то, почему нельзя больше 15...

[waxtep]

Ktina в сообщении #1299742 писал(а):

Ну так Вы доказательство поняли, или всё-таки объяснить?

Ktina, спасибо! Пока отложил, тут голову включать нужно добью, мне тема в целом кажется интересной, - типа зная структуру разложения $n$ на простые, иметь возможность делать какие-то заключения и о структуре $n+m$

[Ktina]

waxtep
Не усложняйте, там проще пареной репы, даже девятилетние девочки могут

-- 25.03.2018, 23:44 --

Уж если я, с моей тупизной, могу, то Вы и подавно можете...

[waxtep]

Ktina, ладно, Вы меня засмущали, пришлось заскрипеть интеллектом
Действительно, среди $16$ чисел будут два, делящиеся на $4$, но не на $8$, т.е. $=2^2\times\ldots$. Тогда показатели других простых чисел в их разложениях должны иметь вид $3^m-1$, что четно, т.е. оба числа квадраты, а так близко раположенных квадратов днем с огнем поискать. Уффф

-- 25.03.2018, 23:56 --

Ktina в сообщении #1299755 писал(а):

Уж если я

Да ну бросьте, чего Вы на себя наговариваете

[Ktina]

waxtep
Можно даже ещё проще! Среди 16 последовательных найдётся дарамдаш 12 при делении на 16. Поскольку этот дарамдаш делится на 4, но не на 8, он должен быть квадратом (так как число его делителей будет делиться на 3, а по условию оно степень простого, значит степень тройки, значит нечётно, значит его хозяин - квадрат). Но квадратов с остатком 12 на 16 не бывает!

-- 26.03.2018, 00:56 --

waxtep в сообщении #1299761 писал(а):

-- 25.03.2018, 23:56 --

Ktina в сообщении #1299755 писал(а):

Уж если я

Да ну бросьте, чего Вы на себя наговариваете

(Оффтоп)

Не наговариваю. Высшую математику мне так и не удалось освоить, несмотря на многочисленные попытки. Диффуры и двойные интегралы так и остались за горизонтом моего понимания. А попыток было немерено, и будут ещё!

[waxtep]

Ага, потому что квадрат по модулю четыре бывает только ноль или один.
Будете смеяться, но впервые я это осознал, помогая решать школьные задачки племяннице, как раз в районе (ее) девяти лет

-- 26.03.2018, 01:07 --

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1299775 писал(а):

А попыток было немерено, и будут ещё!

Находчивость и храбрость, отвага и удача! Желаю Вам
(опасливо озираясь) я так вообще (бывший) физик, теорию чисел "не проходил", она мне просто всегда казалась исключительно красивой дисциплиной. И так же планирую не оставлять попыток.

[kotenok gav]

waxtep в сообщении #1299761 писал(а):

Тогда показатели других простых чисел в их разложениях должны иметь вид $3^m-1$

Ktina в сообщении #1299775 писал(а):

так как число его делителей будет делиться на 3

Почему?

[Ktina]

kotenok gav в сообщении #1299818 писал(а):

Ktina в сообщении #1299775 писал(а):

так как число его делителей будет делиться на 3

Почему?

Число, дающее остаток 4 при делении на 8, имеет вид

$$2^2\cdot ...$$

Следовательно, все его делители можно разбить на тройки вида $n, 2n, 4n$ Таким образом, число всех натуральных делителей будет кратно 3. Но в условии сказано, что число делителей должно быть степенью простого числа. Если число кратно трём и является степенью простого числа, то это может быть только степень тройки. Все степени тройки - нечётные числа. Если у натурального числа нечётное количество делителей, то это может быть только квадрат. Однако квадратов, дающих остаток 12 при делении на 16, не существует.

Так понятнее?

[kotenok gav]

Ktina в сообщении #1299831 писал(а):

Так понятнее?

Да, спасибо!