Решая одну задачу в голову пришла общая теорема, из которой ответ к исходной задаче получается сразу. Теорема заключается в следующем:
Пусть
![$$\[F(x) = \sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}({x_i})} \]$$ $$\[F(x) = \sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}({x_i})} \]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/5/21591a5ad8fa05c15a32ba5f07069b0a82.png)
причем
![$\[\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i} = S} \]$ $\[\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i} = S} \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/6/4963e18eb9d59287114cdda17d12fde182.png)
. Тогда если для любых
![$\[j,k \in \{ 1,2,3,...,k\} \]$ $\[j,k \in \{ 1,2,3,...,k\} \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/2/9e2ef3443765fffe8ecc580f64c054e682.png)
и для любого аргумента

выполняется
![$$\[{f_j}(x - a) \cdot {f_k}(x + a) < {f_j}(x) \cdot {f_k}(x)\]$$ $$\[{f_j}(x - a) \cdot {f_k}(x + a) < {f_j}(x) \cdot {f_k}(x)\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/5/c954c9affbfa8a9cbb386f000729848982.png)
причем
![$\[\left| a \right| > 0\]$ $\[\left| a \right| > 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/7/db784527ffd3193984f20d931781b1fd82.png)
, то максимальное значение

достигается только при
![$\[{x_1} = {x_2} = ... = {x_k} = \frac{S}{k}\]$ $\[{x_1} = {x_2} = ... = {x_k} = \frac{S}{k}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/8/bc8343e1486afcf4c8bb8004f68c37c282.png)
.
Идея моего доказательства заключается в том, чтобы "сдвигать" аргументы функций. Так, если взять два аргумента
![$\[{x_j}\]$ $\[{x_j}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/a/6da673483bb3dc2b54a8d53a539dd33d82.png)
и
![$\[{x_k}\]$ $\[{x_k}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/0/370dc620fb0460a79f5a167c6bc2e8c382.png)
и начать их "сдвигать" друг к другу , сохраняя сумму

и не меняя значения всех остальных аргументов, то максимальное значение будет достигнуто только тогда, когда эти аргументы "схлопнуться" в одну точку. Если повторять эту операцию со всеми остальными парами, то значение

будет расти, а все точки будут приближаться к

Однако мне не нравится это доказательство, так как оно очень не строгое. Как его сделать строгим?