Вычислить определитель 6-го порядка

[Andrey A]

Столкнулся с необычной проблемой: нужно вычислить определитель матрицы и привести его ко внятной алгебраической форме чтобы понять, при каких условиях он может равняться нулю. Тут 18 целых переменных, Вольфрам отказывается работать бесплатно, а вручную сил нет. Вся надежда на обладателей мат. пакетов. Буду признателен, контекст по желанию.

$$\begin{pmatrix} a_3a_5a_7 & -2b_3b_5b_7 & a_2a_4a_8 & 0 & 0 & 0\\ a_3a_5a_7 & 0 & -a_2a_4a_8 & -b_2b_4b_8 & 0 & 0\\ a_4a_9a_{11} & -2b_4b_9b_{11} & 0 & 0 & a_2a_3a_{10} & 0\\ a_4a_9a_{11} & 0 & 0 & 0 & -a_2a_3a_{10} & -b_2b_3b_{10}\\ 0 & 0 & a_7a_{10}a_{11} & 0 & a_5a_8a_9 & -2b_5b_8b_9\\ 0 & 0 & -a_7a_{10}a_{11} & -b_7b_{10}b_{11} & a_5a_8a_9 & 0 \end{pmatrix}$$

[arseniiv]

Mathematica 8.0.1.0:

m = {{a3 a5 a7, -2 b3 b5 b7, a2 a4 a8, 0, 0, 0},
     {a3 a5 a7, 0, -a2 a4 a8, -b2 b4 b8, 0, 0},
     {a4 a9 a11, -2 b4 b9 b11, 0, 0, a2 a3 a10, 0},
     {a4 a9 a11, 0, 0, 0, -a2 a3 a10, -b2 b3 b10},
     {0, 0, a7 a10 a11, 0, a5 a8 a9, -2 b5 b8 b9},
     {0, 0, -a7 a10 a11, -b7 b10 b11, a5 a8 a9, 0}};
Det[m]

> 2 a10^2 a11 a2 a3^2 a5 a7^2 b10^2 b11 b2 b3^2 b5 b7^2 - 
  2 a11 a2 a4^2 a5 a8^2 a9^2 b10^2 b11 b2 b3^2 b5 b7^2 + 
  4 a10 a11^2 a4 a5 a7 a8 a9^2 b10 b2^2 b3^2 b4 b5 b7 b8 + 
  4 a2 a3 a4 a5^2 a7 a8^2 a9 b10^2 b11^2 b2 b3 b4 b7 b9 - 
  4 a10 a11 a3 a5^2 a7^2 a8 a9 b10 b11 b2^2 b3 b4^2 b8 b9 - 
  8 a10 a11 a2^2 a3 a4^2 a8 a9 b10 b11 b3 b5^2 b7^2 b8 b9 + 
  8 a10^2 a11^2 a2 a3 a4 a7 a9 b2 b3 b4 b5^2 b7 b8^2 b9 + 
  8 a10 a2^2 a3^2 a4 a5 a7 a8 b10 b11^2 b4 b5 b7 b8 b9^2 - 
  4 a10^2 a11 a2 a3^2 a5 a7^2 b11 b2 b4^2 b5 b8^2 b9^2 - 
  4 a11 a2 a4^2 a5 a8^2 a9^2 b11 b2 b4^2 b5 b8^2 b9^2

Проверьте, всё ли введено верно.

[Andrey A]

Введено верно. Спасибо, так уже легче.

[Markiyan Hirnyk]

Тот же результат в Мэйпле:

Matrix([[a3*a5*a7, -2*b3*b5*b7, a2*a4*a8, 0, 0, 0], [a3*a5*a7, 0, -a2*a4*a8, -b2*b4*b8, 0, 0], 
[a4*a9*a11, -2*b4*b9*b11, 0, 0, a2*a3*a10, 0], [a4*a9*a11, 0, 0, 0, -a2*a3*a10, -b2*b3*b10], 
[0, 0, a7*a10*a11, 0, a5*a8*a9, -2*b5*b8*b9], [0, 0, -a7*a10*a11, -b7*b10*b11, a5*a8*a9, 0]]);
LinearAlgebra:-Determinant(%);
8*a11^2*b5^2*a10^2*a7*a3*b7*b3*b9*b8^2*b4*b2*a9*a4*a2+
4*a11^2*a10*a7*b10*b7*b5*b3^2*a5*b8*b4*b2^2*a9^2*a8*a4-
8*a11*b5^2*a10*a3*b10*b7^2*b3*b9*b8*b11*a9*a8*a4^2*a2^2-
4*a11*a2*a4^2*a8^2*a9^2*b11*b2*b5*a5*b9^2*b8^2*b4^2-
2*a11*a2*a4^2*a8^2*a9^2*b11*b2*b10^2*b7^2*b5*b3^2*a5-
4*a11*a2*b11*b2*b5*a10^2*a7^2*a5*a3^2*b9^2*b8^2*b4^2+
2*a11*a2*b11*b2*b10^2*b7^2*b5*b3^2*a10^2*a7^2*a5*a3^2-
4*a11*b10*a10*a7^2*a5^2*a3*b3*b9*b8*b4^2*b2^2*b11*a9*a8+
8*b5*a10*a7*a5*a3^2*b10*b7*b9^2*b8*b4*b11^2*a8*a4*a2^2+
4*b10^2*a7*a5^2*a3*b7*b3*b9*b4*b2*b11^2*a9*a8^2*a4*a2

[Andrey A]

Спасибо. Надо теперь его понять :)

[Papazol]

в некоторых столбцах много нулей, напрашивается разложение по столбцу какому-нибудь
можно по последнему разложить, или по второму, по четвертому

в минорах тоже много нулей будет

[Andrey A]

Простой выход был бы виден. По любой переменной функция квадратична, так или иначе приходится решать квадратное уравнение и смотреть что под радикалом, но там слишком много букв. Может там и квадрат, кто знает, ни один решатель в строку не берет.

[Vince Diesel]

Команда FullSimplify дает

$$ 2 \text{a10}^2 \text{a11} \text{a2} \text{a3} \text{a7} \text{b2} \text{b5} \left(4 \text{a11} \text{a4} \text{a9} \text{b3} \text{b4} \text{b5} \text{b7} \text{b8}^2 \text{b9}+\text{a3} \text{a5} \text{a7} \text{b11} \left(\text{b10}^2 \text{b3}^2 \text{b7}^2-2 \text{b4}^2 \text{b8}^2 \text{b9}^2\right)\right)+ $$

$$ +4 \text{a10} \text{a8} \text{b10} \text{b8} (\text{a11} \text{a4} \text{a9} \text{b3} \text{b5} \text{b7}-\text{a3} \text{a5} \text{a7} \text{b11} \text{b4} \text{b9}) \left(\text{a11} \text{a5} \text{a7} \text{a9} \text{b2}^2 \text{b3} \text{b4}-2 \text{a2}^2 \text{a3} \text{a4} \text{b11} \text{b5} \text{b7} \text{b9}\right)- $$

$$ -2 \text{a2} \text{a4} \text{a5} \text{a8}^2 \text{a9} \text{b11} \text{b2} \left(\text{a11} \text{a4} \text{a9} \text{b5} \left(\text{b10}^2 \text{b3}^2 \text{b7}^2+2 \text{b4}^2 \text{b8}^2 \text{b9}^2\right)-2 \text{a3} \text{a5} \text{a7} \text{b10}^2 \text{b11} \text{b3} \text{b4} \text{b7} \text{b9}\right) $$

так что вряд ли это полный квадрат с рациональными коэффициентами, математика разложила бы на множители (и команда Factor ничего не дает). Кстати, вот тут Wolfram sandbox она считает этот код бесплатно

[Andrey A]

Vince Diesel, я на сколько понял, это сам многочлен. Он и не должен быть приводим, тем более быть квадратом. Он должен при каких-то условиях быть нулём :) Если же это дискриминант, то не понятно по какой переменной решалось уравнение: все они тут присутствуют. Спасибо за ссылку.

UPD
Ага, понял. Если бы под радикалом был квадрат, многочлен был бы приводим в рациональных числах. Однако, для этого требуется проверка по 18-ти переменным (они симметричны, конечно, но машина об этом знать не обязана). Вот, что там возникает под радикалом - самое интересное.

[Vince Diesel]

Если положить $b_i=a_i$, то получится

$$ 2 \text{a11}^2 \text{a2}^2 \text{a5}^2 \left(\text{a10}^4 \text{a3}^4 \text{a7}^4+3 \text{a10}^2 \text{a3}^2 \text{a4}^2 \text{a7}^2 \text{a8}^2 \text{a9}^2-2 \text{a4}^4 \text{a8}^4 \text{a9}^4\right), $$

что-то не совсем симметрично.

Можно еще ввести новые переменные $\alpha_1= \text{a3} \text{a5} \text{a7}$,... по элементам матрицы. Получится 12 переменных. А по поводу контекста, если это вдруг какая-то задача о выражении одних многочленов через другие, то в математике реализованы алгоритмы по нахождению базисов Гребнера.

[DeBill]

Andrey A
Вера в совершенство и упорядоченность МИРА приводит к закономерному вопросу: а нет ли у Вас в последнем столбце опечатки (то ли пропущенная, то ли лишняя двойка)? Если есть, то все 12 указанных Vince Diesel переменных станут (да и если - нет - тоже) независимыми, но , дополнительно к этому, переменные $a$ и $b$ станут совершенно равноправными. И это - хорошо, и тогда матпакеты, мобыть, скажут что-то разумное, и будем посмотреть...

[Andrey A]

DeBill Опечатка вряд ли. Специально брал матрицу прямо из системы уравнений для надежности.
Vince Diesel Симметрия иная имелась в виду. В том смысле, что если брать по разным переменным, скоро начнем решать одну и ту же задачу.

Впрочем, я скоро дам весь расклад, это связано с задачей scweca о трех точках. Кажется, эту головоломку можно сильно упростить, сведя к 9-ти рациональным параметрам. Найти полное решение общими усилиями - было бы здорово!

[DeBill]

Andrey A в сообщении #1299394 писал(а):

они симметричны, конечно,

Вот и я о том же: хочется думать, что там все симметрично. А в Вашей матрице это не так: последний столбец явно выпадает.
Вааще, когда я вижу 12 боле-мене однотипных выражений (комбинируя строчки, можно Ашки превратить в Бэшки, и наоборот), среди коэффициентов которых 11 единиц, и - у ни чем не выделяющегося среди прочих - одна двойка, сомненние меня берет, однако.

[Andrey A]

Вот я выложил уже откуда оно берется. Проверьте, если Вам не трудно, может, действительно ошибся?

[DeBill]

Проверил: вроде, все верно. Подвела меня интуиция...
Да, и асимметрия там есть, увы.