функция Грина дифф оператора

[Agathis]

Помогите найти литературу, в которой подробно описаны свойства функции Грина для линейного дифференциального оператора с частными производными. В классических монографиях (Тихонов, Самарский; Cоболев) находил лишь описание функции Грина для оператора Лапласа.

[zoo]

Agathis писал(а):

Помогите найти литературу, в которой подробно описаны свойства функции Грина для линейного дифференциального оператора с частными производными. В классических монографиях (Тихонов, Самарский; Cоболев) находил лишь описание функции Грина для оператора Лапласа.

мне кажется, что было бы больше толку для Вас если б Вы сформулировали конкретную задачу из которой взникли эти фантазии о функции Грина для произвольного дифференциального оператора, а не искали книги, которые этим фантазиям соответствуют.
Ловите определение столь же бессодержательное какова и общность Вашей задачи:
$\mathcal{L}_x G(x,y)=\delta(x-y)$

[Agathis]

Да не из какой конкретной задачи эти фантазии не взникли.
Вопрос в том, какие выводы можно сделать о функции Грина по заданному оператору и граничным условиям. Например, какими свойствами она обладает, если коэффициенты оператора гладкие.

[Gafield]

Цитата:

Ловите определение столь же бессодержательное какова и общность Вашей задачи:
$\mathcal{L}_x G(x,y)=\delta(x-y)$

Это для достаточно гладких коэффициентов.

Локальная гладкость функции Грина зависит от оператора. Если он эллиптический (с аналитическими коэффициентами) в области $Q$, то при $x\ne y$ она аналитическая в $Q$ по $x$ и $y$. Есть более общий класс операторов, называемых гипоэллиптическими, для которых аналитичность надо заменить на бесконечную дифференцируемость (при бесконечно дифференцируемых коэффициентах). К ним относятся, например, эллиптические, параболические (ур. теплопроводности), Шредингера. Гиперболические не явл. гипоэллиптическими. Там разрывы распространяются по характеристикам.

[Agathis]

Вопрос такой, будет ли функция Грина гладкой на некотором компакте K\subset Q при x\ne y если коэффициенты оператора гладкие в К, но имеют особенности на Q\setminus K?

[Gafield]

Если особенности отделены от компакта, то, при фиксированном $y\in Q\backslash K$, для гипоэллиптических операторов функция Грина будет гладкой по $x$ в $K$. Если, конечно, она существует.

А вообще говоря, нет. Взять хотя бы волновое уравнение.

[zoo]

Gafield
снимаю шляпу перед Вашей способностью обсуждать свойства функции грина даже не поинтересовавшись гран условиями

Добавлено спустя 1 час 23 минуты 58 секунд:

Agathis писал(а):

Да не из какой конкретной задачи эти фантазии не взникли.
Вопрос в том, какие выводы можно сделать о функции Грина по заданному оператору и граничным условиям. Например, какими свойствами она обладает, если коэффициенты оператора гладкие.

Вы сами не понимаете разве бессмысленность своего вопроса? Ну я наложу такие гран условия, что никаких функций Грина вообще не будет существовать. Для диф. операторов первого порядка это вообще типичная картина. Множество операторов второго порядка еще более необозримо. Если брать только эллиптические операторы, то необозримо множество гран условий. И т д и т п Функция Грина очень сильно связана с конкретикой задачи, однако если Вы задались целью придумать универсальный метод для решения вообще всех лин. дифуров с абсолютно любыми гран условияи и операторами, то флаг, как говориться, в руку.

[Agathis]

zoo писал(а):

Ну я наложу такие гран условия

Да налагайте, ради Бога, мешать Вам никто не будет. Я нигде и не говорил, что она всегда будет существовать. Только постарайтесь прочитать метки темы, где ясно сказано, что я ищу литературу. Книги, в которых подробно изложена теория функций Грина линейных дифф операторов.

[Gafield]

Цитата:

снимаю шляпу перед Вашей способностью обсуждать свойства функции грина даже не поинтересовавшись гран условиями

Ну, локальная гладкость в некоторых случаях зависит только от локальных свойств оператора - это то, что остается обсуждать, если неизвестны краевые условия

Цитата:

Только постарайтесь прочитать метки темы, где ясно сказано, что я ищу литературу. Книги, в которых подробно изложена теория функций Грина линейных дифф операторов.

В местной библиотеке есть поиск по индексам. Вот, напрнимер:

функция Грина
Green's function

Значительная часть там, правда, отностится к функциям Грина квантовой механики, но и остального хватает.

[zoo]

Gafield писал(а):

Ну, локальная гладкость в некоторых случаях зависит только от локальных свойств оператора - это то, что остается обсуждать, если неизвестны краевые условия Smile

ну раз Вы обсуждаете функцию Грина дифференциального оператора с локальной точки зрения и без гран. условий, то может запишите как через нее выражается решение соответствующего дифура тоже локально? или какие-либо другие приложения такой теории укажите

[Gafield]

Я не обсуждаю содекржательность такой постановки. Об этом надо спрашивать топикстартера. Однако далее был задан вопрос о локальной гладкости в эллиптическом случае для коэффициентов с осбенностями, на который я ответил раньше, чем он был задан