Линейная независимость

[Darts501]

Помогите решить следующую задачу. Даны различные рациональные числа $r_1, \dots, r_n$ из интервала $(0, 1)$. Доказать, что $2^{r_1}, \dots, 2^{r_n}$ линейно независимы в векторном пространстве $R_{Q}$, то есть в пространстве вещественных чисел над полем рациональных.

Пробовал доказывать (и вроде так и надо) через индукцию, но ничего не получилось. Предположив что $n$ векторов будут зависимы я не нашел противоречия.

[DeBill]

Индукция - это хорошо.
А базу то Вы хотя бы проверили?
А, может, привести все рац. числа к общему знаменателю?
И: что Вы знаете о неприводимых многочленах?
Верно ли, что многочлен неприводим над КУ тогда и токо тогда, когда неприводим над ЗЕТ?
Для каких $N$ нерпиводим над ЗЕТ многочлен $x^N -2$ ?

[Darts501]

Базу я проверил. Привести к общему знаменателю коэффициенты можно, а вот со степенями не очень понятно. Еще не понятно причем здесь неприводимые многочлены. Если можно то поподробнее.

[DeBill]

Пусть $N$ - общий знаменатель всех дробей, и $x=2^{\frac{1}{N}}$. Предположение о линейной зависимости означает, что $x$ - корень многочлена с рациональными коэф-тами (степени меньшей $N$). Тогда у этого многочлена, и у того, что я написал, есть общий корень...
Ох, по правилам форума дальше низя...

(Оффтоп)

(и общий делитель с рациональными к-тами). Ну, тогда можно ссылаться на неприводимость....
Просто - по ошибке, вместо delete нажал off...

[Darts501]

А по чему общий делитель с рациональными к-тами? корень же вещественный.

И вообще говоря многочлены и неприводимость нельзя использовать

[vpb]

Darts501
То, что, вообще говоря, многочлены и неприводимость нельзя использовать, порождает любопытство: а в рамках какого учебного курса, так сказать, эта задача?

[Darts501]

По программе их еще не проходили

[vpb]

Я понял, что не проходили. А задача-то откуда? Из какого учебника, или учебного заведения?

[DeBill]

Darts501 в сообщении #1298349 писал(а):

А по чему общий делитель с рациональными к-тами? корень же вещественный.

Это дает алгоритм Евклида.
Ну, а рассуждение нужное можно провести и напрямую, не используя высоконаучных слов.
И, я полагаю, любое решение фактически и будет именно таким.