Аппроксимация экспоненциальной функцией

[wrest]

Александрович
Чтобы получить дальнейшие соображения, как мне кажется, вам надо конкретней описать что именно вы делаете в экселе (что у вас в каких клетках, какие функции используете и т.п.), а также что именно вы понимаете под "более точно находятся кэффициенты" -- что вы хотите минимизировать: сумму относительных погрешностей, сумму квадратов относительных погрешностей, максимальную относительную погрешность из трех, абсолютные ошибки и т.д.

[Евгений Машеров]

0. Это вопрос планирования эксперимента, и даже в линейном случае не всё так тривиально. А тут задача нелинейна.
1. Начинается неопределённость с того, каков критерий качества. Первый подход, с равными по времени отсчётами, приводит к тому, что изменение зависимой переменной меньше, чем при втором. А это значит, что константа c будет оценена лучше, чем во втором случае, на неё меньшее влияние окажет изменение первого, экспоненциального слагаемого, функции, зато константа b будет в первом случае оценена хуже, чем во втором. То есть надо задать объединяющий критерий. Ну, или рассматривать ошибки оценивания лишь одного параметра (формально это тоже "составной критерий", пусть и зависит лишь от одного).
2. Один из подходов я описал выше. Линеаризовать модель, и в качестве погрешностей оценки параметров принять дисперсии оценок параметров вспомогательной линейной модели. Опирается подход на предположение о том, что модель оценивается нелинейным МНК. Если это не так - подход непригоден или требует сильных изменений. Думается, найти описание того, как решается задача, можно. В документации или на форумах по этой программе.
3. Возможный подход - "чёрный ящик". Генерируется зависимость с известными параметрами, на неё накладывается ошибка, получается оценка параметров, сравнивается с известными значениями и так много-много-много (тут мне вспомнился школярский розыгрыш с повторением этих слов...) раз. Монте-Карло, в общем. В принципе, владея Basic'ом для Экселя, можно запрограммировать и обращения к оценивателю параметров в цикле (говорят, в Экселе плохой ГСЧ, но тут я ничего определённого не скажу). Трудоёмко и нет общности, результаты гарантировано приложимы лишь к выбранным параметрам, но если больше ничего нет...

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1298167 писал(а):

зато константа b будет в первом случае оценена хуже, чем во втором.

Не будет. Просто, оцифровывать нужно с максимально возможной скоростью.

[Евгений Машеров]

Ну, так сравнивать надо при равном количестве отсчётов.

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1298185 писал(а):

Ну, так сравнивать надо при равном количестве отсчётов.

Зачем?

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #1298167 писал(а):

То есть надо задать объединяющий критерий.

А если использовать оба варианта одновременно?

[Александрович]

Статистическое моделирование показало меньшие ошибки всех параметров для первого варианта. Всем спасибо.

[Евгений Машеров]

realeugene в сообщении #1298200 писал(а):

Зачем?

Если у Вас интерес академический - то чтобы сравнить методы в равных условиях, увеличение числа отсчётов само по себе повышает точность. Если прикладной - увеличение числа отсчётов стоит денег и/или труда и это число желательно минимизировать.

-- 19 мар 2018, 06:52 --

Александрович в сообщении #1298253 писал(а):

Статистическое моделирование показало меньшие ошибки всех параметров для первого варианта. Всем спасибо.

Методику можно?

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #1298254 писал(а):

Методику можно?

Как Вы советовали для "чёрного ящика".

[Евгений Машеров]

"Дьявол кроется в мелочах".
Сколько реализаций, как генерировали данные, одинаковые ли наборы возмущений в двух опытах, что сравнивали и т.п.

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1298254 писал(а):

Если прикладной - увеличение числа отсчётов стоит денег и/или труда и это число желательно минимизировать.

С практической точки зрения нужно как раз подключить к компу АЦП, установить период оцифровки на порядок меньше постоянной времени экспоненты и больше не париться с таким сложным выбором, экономя пару байт на харде.

[Евгений Машеров]

Угу. А потом окажется, что у Вас ошибки коррелированы, поскольку интервал оцифровки слишком мал, чтобы корреляции угасли...

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1298337 писал(а):

Угу. А потом окажется, что у Вас ошибки коррелированы, поскольку интервал оцифровки слишком мал, чтобы корреляции угасли...

Ну, окажется. И чё?

[Евгений Машеров]

И все оценки посыпятся. Там интересные эффекты бывают, из-за автокорреляции.

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #1298267 писал(а):

"Дьявол кроется в мелочах".

1.Задаю параметры функции, $a=100, b=0.5, c=20$. Функция меняется на интервале $[0;9]$. Время наблюдения 4-5 постоянных времени.
a). 1-й вариант. Определяю $x_i=i\Delta x; \Delta x=1$. Нахожу значения функции по экспоненциальной зависимости с заданными параметрами $y(x_i)$.
б). 2-й вариант. Определяю шаг для $y$ как $\Delta y=\frac{y_0-y_9}{9}$. Нахожу точки отсчёта по $y$ как $y_i=y_0-i\Delta y$. Нахожу значения $x_i$.
2. Генерирую 10 нормально распределённых с.в. из $N[0;1]$. Каждое из них последовательно добавляю к значению функции первого и второго варианта. Для каждого варианта нахожу параметры $a, b, c$ из условия минимума суммы квадрата невязок.
3. 20 раз повторяю пункт 2.
4. По всем значениям для каждого варианта и для каждого параметра считаю сумму квадратов отклонения от заданного значения.
5. Сравниваю результаты.

-- Вт мар 20, 2018 06:08:15 --

realeugene в сообщении #1298117 писал(а):

А я подумал, и выбираю первый вариант.

Мне интуитивно казалась, что чем быстрее меняется наблюдаемая величина, тем чаще нужно делать отсчёты. А иначе какой смысл в начале проспать самое интересное, а потом долго и нудно наблюдать за слабо меняющейся величиной?