Отношения соседних чисел Фибоначчи по простому модулю

[fractalon]

Заметил вдруг (чисто экспериментально), что последовательность $F_{n+1} (F_n)^{-1}$ по модулю $p$ (или, иначе говоря, последовательность $a_n=(a_{n-1})^{-1} + 1$) пробегает, зацикливаясь, все без исключения элементы ${\mathbb Z}_p$. Причём, кажется, то же самое верно для любой последвоательности $a_n=(a_{n-1})^{-1} + c$ если $c \not \equiv 0 \pmod p$.
Насколько сложный это факт? Где можно найти доказательство?

[AV_77]

$3^{-1} + 1 \equiv 3 \pmod{5}$.

[waxtep]

Что делать дальше, если $a_n\equiv0\pmod p$ для какого-то $n$?

[MetaMorphy]

https://en.wikipedia.org/wiki/Inversive ... _generator