Из лжи следует все что угодно

[Sicker]

Помогите разобраться с примером. Пусть у нас $a<b$. Из утверждения если $a>b$ следует, что $b<a$, следует, что если $a>b$ ложно, то из него следует все что угодно, в том числе и то, $b<a$. Т.к. у нас по условию $a<b$, то $a>b$ ложно, а следовательно, $b<a$. Но по условию $a<b$, противоречие.
Где ошибка?

[shiny_beacon]

(Оффтоп)

По-моему, $a > b$ это то же самое, что и $b < a$, что является ложным.

[Sicker]

Мне кажется, я не использовал правило modus ponens
Т.е. у нас утверждение $a>b$ ложно, а значит, мы не можем вывести, что $b<a$

-- 19.03.2018, 01:32 --

shiny_beacon в сообщении #1298229 писал(а):

По-моему, $a > b$ это то же самое, что и $b < a$, что является ложным.

Да, но следование формально верное. Мы сейчас рассматриваем только его.

[shiny_beacon]

У меня есть подозрение, что ТС путает $\rightarrow$ и $\Rightarrow$...

[Sicker]

shiny_beacon в сообщении #1298231 писал(а):

У меня есть подозрение, что ТС путает $\rightarrow$ и $\Rightarrow$...

И в чем же разница?

[warlock66613]

Sicker, ошибка в том, что вы считаете, будто

$$\neg A \to \text{что угодно},$$

а это неверно, а верно, что

$$\neg A \to (A \to \text{что угодно}).$$

-- 19.03.2018, 02:42 --

Проще говоря, вы путаете само ложное утверждение и утверждение о ложности этого утверждения.

[Sicker]

warlock66613
Согласен, я уже вспомнил про modus ponens)

-- 19.03.2018, 01:45 --

warlock66613 в сообщении #1298233 писал(а):

Проще говоря, вы путаете само ложное утверждение и утверждение о ложности этого утверждения.

Но я же показал, что оно ложно.

-- 19.03.2018, 01:46 --

warlock66613 в сообщении #1298233 писал(а):

Sicker, ошибка в том, что вы считаете, будто

$$\neg A \to \text{что угодно},$$

Нет, я утверждал, что $0 \to \text{что угодно}$

-- 19.03.2018, 01:47 --

Но чтобы вывести это что угодно, нужно, чтобы посылка была истинной, а она ложна, так что доказать что угодно не получится)

[eugensk]

Sicker в сообщении #1298228 писал(а):

если $a>b$ ложно, то из него следует все что угодно, в том числе и то, $b<a$

$b<a$ следует, оставаясь ложным, или истинным, или неважно каким. У вас не появилось новых утверждений, вы ничего не можете сказать про $b<a$. Всё.

[Gagarin1968]

Не уверен, что это к селу, к городу, но вот нашёл в старой книжке Гильберта и Аккермана "Basic principles of theoretical logic" 1947 года. Цитирую:

Цитата:

What will be if we'll try to proof a proposition false a priori by contradiction method?
An answer is unexpected - nothing! In consequence we won't come to contradiction. And we won't be successful to get any conclusion about truth or false of initial proposition.

В любом случае заголовок темы абсолютно верен.

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1298235 писал(а):

Нет, я утверждал, что $0 \to \text{что угодно}$

Это бессмыслица. Если вы хотите записать соответствующую формулу алгебры логики, то формула будет $0 \to \text{что угодно} = 1$. Но естественным способом формализации рассуждений, подобных тем, с которых вы начали эту тему, является не алгебра логики, а исчисление высказываний, в котором утверждение "из лжи следует что угодно" записывается так, как я написал выше. И в алгебре логики нет никакого modus ponens, там есть формула $(a \wedge (a \to b)) \to b = 1$.

[arseniiv]

warlock66613
Я так понял, Sicker использует 0 для обозначения тождественно ложной формулы, не для обозначения значения «ложь». Если он не знает, что более принято $\bot$.

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #1298269 писал(а):

Если вы хотите записать соответствующую формулу алгебры логики, то формула будет $0 \to \text{что угодно} = 1$

А в чем разница?

warlock66613 в сообщении #1298269 писал(а):

И в алгебре логики нет никакого modus ponens, там есть формула $(a \wedge (a \to b)) \to b = 1$.

А в чем разница?

[mihaild]

Sicker в сообщении #1298228 писал(а):

если $a>b$ ложно, то из него следует все что угодно, в том числе и то, $b<a$. Т.к. у нас по условию $a<b$, то $a>b$ ложно, а следовательно, $b<a$

Вот тут путаница.
Первое утверждение формализуется несколькими способами, правильный из них: $\neg(a > b) \rightarrow ((a > b) \rightarrow X)$. Т.е. "если $a > b$ ложно, то из $a > b$ следует что угодно".
А во втором предложении вы рассуждаете так, как будето из $\neg (a > b)$ следует что угодно, что неверно.

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1298311 писал(а):

А в чем разница?

В осмысленности. Если $\text{что угодно}$ - это переменная на множестве $\{0, 1\}$, а $\to$ - бинарная алгебраическая операция на этом множестве, то $0 \to \text{что угодно}$ - это просто выражение, как $2 + 3$, и не выражает собой никакого утверждения.

Sicker в сообщении #1298311 писал(а):

А в чем разница?

Ну, конечно, тут надо спросить "разница с чем?" Модусом поненсом называют разные вещи, и пока не определено, что имеется в виду, ответить в чём разница нельзя. Но я имел в виду формулировку логики высказываний, в которой modus ponens - это правило вывода, не формула.