2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Описать класс кривых с постоянным кручением
Сообщение26.06.2008, 22:50 
Аватара пользователя
Описать класс кривых с постоянным кручением: $\kappa(l)=const$.
Как она решается? Или есть место, где она решена?

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 00:07 
Поиск в инете дает список задач
http://dfgm.math.msu.su/files/v2006zad.pdf
Раздел "Кривые" - задача 8. Может кто-то из студентов и решал... Сорри

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 00:20 
Аватара пользователя
e7e5 писал(а):
Поиск в инете дает список задач
http://dfgm.math.msu.su/files/v2006zad.pdf
Раздел "Кривые" - задача 8. Может кто-то из студентов и решал... Сорри

Нет, 8я задача проще этой. (во всяком случае, я ее когда-то решал)

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 02:16 
Как, как... Приравнять кручение константе и придумать подходящую параметризацию.

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 02:18 
Аватара пользователя
А кривые берутся в $\mathbb{R}^3$?

Если да, то разве это не спирали?

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 09:01 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
А кривые берутся в $\mathbb{R}^3$?

Если да, то разве это не спирали?

Да, в $\mathbb{R}^3$. Нет, винтовые линии имеют постоянную кривизну, т.е. исследуемый класс шире. Или вы что-то другое имеете ввиду под спиралями?

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 09:49 
Аватара пользователя
Докажите, что кривая \[\vec r(s)\]имеет постоянное кручение \[\kappa  \ne 0\; \Leftrightarrow\] найдется произвольная достаточно гладкая кривая b(t) , целиком расположенная на единичной сфере, для которой \[
\vec r(s) = \frac{1}{\kappa }\int\limits_0^s {(\vec b(} t) \times \frac{{d\vec b(t)}}{{dt}})dt
\]
Понимаю, что это описание - не слишком изящное, но о другом я не слыхал.

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 09:52 
Аватара пользователя
Cervix писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
А кривые берутся в $\mathbb{R}^3$?

Если да, то разве это не спирали?

Да, в $\mathbb{R}^3$. Нет, винтовые линии имеют постоянную кривизну, т.е. исследуемый класс шире. Или вы что-то другое имеете ввиду под спиралями?


Да, винтовые линии я и имел в виду. Слаб в геометрии, попутал.

 
 
 
 Re: Задачка из "Современной геометрии"
Сообщение27.06.2008, 12:20 
Аватара пользователя
Cervix писал(а):
Описать класс кривых с постоянным кручением: $\kappa(l)=const$.
Как она решается? Или есть место, где она решена?

Вопрос действительно хороший. Особенно если учесть, что когда $\kappa(l)\ne 0$ и не постоянна, то можно так заменить переменную $l$ в уравнениях Френе, что мы получим новые уравнения Френе, у которых кручение будет тождественно равно единице. Поэтому, тот, кто научится описывать кривые с постоянным кручением, тот научится описывать вообще почти все кривые.

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 12:45 
Аватара пользователя
А что, разве кручение не инвариантно относительно (достаточно "хороших") замен параметра?

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 12:52 
Аватара пользователя
Someone писал(а):
А что, разве кручение не инвариантно относительно (достаточно "хороших") замен параметра?

ели в уравнениях Френе от переменной $l$ перейти к переменной $t$ по формуле $t=\int_{t_0}^t\kappa(l)dl$ то полученные уравнения тоже можно будет считать уравнениями Френе некоторой другой кривой в этих новых уравнениях френе $\kappa=1$ тождественно.

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 12:57 
Аватара пользователя
Ах, это другая кривая...

 
 
 
 
Сообщение27.06.2008, 13:02 
Аватара пользователя
Someone писал(а):
Ах, это другая кривая...

речь идет об описании, одну кривую можно описывать через другую см. пост Брюкволюба например

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group