2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача о произведении четырех матриц
Сообщение15.03.2018, 14:15 
Аватара пользователя


07/01/15
999
Якутск
Задача из недавно прошедшей олимпиады.

Пусть $m, n, p, q \ge 1$ есть натуральные числа и матрицы $A \in \mathcal M_{m,n}(\mathbb R), B \in \mathcal M_{n,p}(\mathbb R), C \in \mathcal M_{p,q}(\mathbb R), D \in \mathcal M_{q, m}(\mathbb R)$ удовлетворяют соотношениям $$A^t = BCD,\;\; B^t = CDA,\;\; C^t = DAB,\;\; D^t = ABC.$$
Доказать, что $(ABCD)^2 = ABCD$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о произведении четырех матриц
Сообщение16.03.2018, 08:55 
Аватара пользователя


07/01/15
999
Якутск
Подсказку дать? Или кто-то решает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о произведении четырех матриц
Сообщение17.03.2018, 13:11 
Заслуженный участник


10/01/16
1892
Матрица $P=ABCD = D^tD$ симметрична, неотрицательно определена, так что ее спектр вещественный, неотрицательный, и она - диагонализируется. Но $P^3 =ABC \cdot DAB \ cdot CDA \cdot BCD = D^t C^t B^t A^t = P^t$, так что $P^3 =P^t =P$. Поэтому, для любого ее собственного значения $\lambda$ имеем $\lambda^3 =\lambda$, так что (вещественность и неотрицательность!) $\lambda =0$ или $\lambda =1$. Поэтому $P$ - проектор (клеток то нету)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о произведении четырех матриц
Сообщение17.03.2018, 13:36 
Аватара пользователя


07/01/15
999
Якутск
DeBill :appl:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group