Билинейное отображение II - изматывание нормы

[AD]

(Предыдущая серия - здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=14201)

Смотрите какую я штуку придумал.

Пусть $(X,\|\cdot\|_X)$, $(Y,\|\cdot\|_Y)$ и $(Z,\|\cdot\|_Z)$ --- (действительные или, если это будет существенно, комплексные) нормированные пространства, пусть даже $Y$ и $Z$ банаховы,
$A\colon X\times Y\to Z$ --- совместно непрервывное билинейное отображение. То есть $\|A(x,y)\|_Z\le C\|x\|_X\|y\|_Y$.

Каждому вектору $x\in X$ соответствует оператор $A_x\colon Y\to Z$, $y\mapsto A(x,y)$. При этом, очевидно, $\|A_x\|\le C\|x\|_X$.

Объявим $\|x\|_1=\|A_x\|$. Правда, это уже лишь преднорма.

Дальше начинаются интересующие меня вопросы. Много. Я их здесь пишу, еще даже не подумав - скорее, чтобы все не забыть

Есть ли наглядные критерии:

1. В каких случаях отображение $A$ останется совместно непрерывным?

Если оно осталось, заменим $\|\cdot\|_X$ на $\|\cdot\|_1$ и проделаем с ней ту же процедуру. Получим преднорму $\|\cdot\|_2$. Потом, если повезет, норму $\|\cdot\|_3$, и т.д. Константа $C$ каждый раз будет разной.

2. В каких случаях эта последовательность
а) "обрывается"? (то есть относительно некоторой нормы $A$ уже не будет непрерывным)
б) "стабилизируется"? (то есть следующая норма будет равна или топологически эквивалентна предыдущей)
Кстати, интересно понять, вот если две нормы топологически эквивалентны, то будут ли соответствующие операторные нормы топологически эквивалентны? Но это я уж сам постараюсь сообразить.
в) сойдется к преднорме, относительно которой $A$ по-прежнему непрерывно (чтобы дальше бесконечности можно было пойти?)
г) содержит норму, относительно которой пространство $X$ будет банаховым (интересно, а следует ли из этого, что все следующие пространства будут банаховыми? или эквивалентными самому первому банаховому?)

Кто-нибудь что-нибудь такое видел?

[AD]

Большую часть темы фтопку. Немного подумав, я сообразил, что норма на $X$ никак не участвует в определении нормы оператора $A_x$.

Так что остались вопросики 1 и 2г (первый из них звучит как учебная задачка; еще пока сам подумаю).