Эффект Рунге: неинтерполируемость по равноотстоящим узлам

[Brukvalub]

Теперь понял. Дело не в примере, а в его понимании участником Spook.

[Spook]

TOTAL писал(а):

Конечно, неверный.

Вы считаете, что я неправильно рассуждал?

Brukvalub писал(а):

Теперь понял. Дело не в примере, а в его понимании участником Spook.

Вы тоже считаете, что я неправильно обьяснил причину плохой интерполяции? Ваша функция вблизи $1$ изменяется плавно, а значит не может быть точно приближена полиномом высокой степени (по равноотстоящим узлам). Почему я неправильно понимаю? (кстати я не говорил, что Ваш пример неверен)
Brukvalub,TOTAL пожалуйста, обьясните ваши мнения.

[Brukvalub]

Spook писал(а):

Brukvalub,TOTAL пожалуйста, обьясните ваши мнения.

Так Вам уже все про мой пример написал TOTAL - почитайте и попытайтесь понять наш с TOTAL спор.

[Spook]

Brukvalub Вы думаете я его не прочитал? Прочитал и у меня осталось мнение, что, в частности, Вы считаете мое обьяснение неверным, только потому, что Ваше, отличное от моего обьяснение, верно.

[Brukvalub]

Я нашел в этой теме следующие Ваши объяснения:

Spook писал(а):

Причиной этому я считаю (тоже, по-видимому, будет и с функцией Brukvalubа) служит то, что функция на маленьком промежутке вблизи 1 похожа на константу, а полином высокой степени так себя вести не может.

. Я не утверждаю, что это объяснение - неверное, но пока оно для меня звучит неубедительно, для понимания эффекта нужны какие-нибудь оценки и т.п. Я же строил пример, основываясь на неограниченности функции, и мое объяснение прозрачно все раскрывает. Соглашусь и с Вашим объяснением, если Вы сможете дать развернутое его обоснование.

[ГАЗ-67]

Spook писал(а):

Кстати сказать, интерполяция по чебышёвским узлам (полиномами Чебышёва) обеспечивает убывание погрешности до нуля. Думаю это связано с тем, что узлы эти сосредоточенны как раз на "плохих" участках, где функция почти постоянна, а около "бугорка" их мало.

Spook писал(а):

Ваша функция вблизи изменяется плавно, а значит не может быть точно приближена полиномом высокой степени (по равноотстоящим узлам).

Ересь . На костёр !!!

Возьмите любую другую функцию : синус , тангенс или экспоненту и получите то же самое убывание погрешности до нуля . Наличие или отсутствие бугорков влияния не оказывает .
Загляните в книгу Пашковского .
Суть интерполяционного полинома Лагранжа в том , что он принимает $N$ заданных значений и имеет степень $N-1$ . И не более того . На поведение полинома между узлами никаких условий не накладывается , поэтому между узлами он ведёт себя произвольным образом . А вообще говоря , если не ограничиваться степенью , то можно построить такой многочлен , что он будет с какой угодно точностью приближать данную функцию на заданном интервале .

Причиной этому я считаю (тоже, по-видимому, будет и с функцией Brukvalubа) служит то, что функция на маленьком промежутке вблизи 1 похожа на константу, а полином высокой степени так себя вести не может. . Мда ... А как может ?

[Spook]

ГАЗ-67 , а что-нибудь по делу скажите?

Добавлено спустя 5 минут 3 секунды:

Brukvalub, пока не получается развернуто обосновать, да и времени мало Так что пока ваше решение единственно.

[ShMaxG]

Хотелось бы написать некоторые оценки роста ошибки при интерполировании функции Рунге $\[f\left( x \right) = \frac{1} {{1 + 25{x^2}}}\]$ по равномерной сетке на отрезке $\[\left[ { - 1;1} \right]\]$.

Как известно, ошибка при интерполировании:

$\[\left| {{R_n}\left( x \right)} \right| = \left| {f\left( x \right) - {P_n}\left( x \right)} \right| = \left| {\frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \xi \right)}} {{\left( {n + 1} \right)!}}\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)...\left( {x - {x_n}} \right)} \right|\]$, где $P_n(x)$ - интерполянт, $\[\xi \in \left[ { - 1;1} \right]\] $.

Производная $n$-го порядка:$ \[{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {50x} \right)}^n}n!}} {{{{\left( {1 + 25{x^2}} \right)}^{n + 1}}}} + ...\]$. Легко показать, что вблизи единиц остальные члены не существенны.

Т.о. $\[\left| {{R_n}\left( x \right)} \right| = \frac{{{{\left( {50\xi } \right)}^{n + 1}}}} {{{{\left( {1 + 25{\xi ^2}} \right)}^{n + 2}}}}\left| {\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)...\left( {x - {x_n}} \right)} \right|\]$.

Оценка первого множителя: $\[\frac{{{{\left( {50\xi } \right)}^{n + 1}}}} {{{{\left( {1 + 25{\xi ^2}} \right)}^{n + 2}}}} \sim \frac{{{{50}^{n + 1}}{\xi ^{n + 1}}}} {{{{25}^{n + 2}}{\xi ^{2n + 4}}}} = \frac{1} {{50}}\frac{{{2^{n + 2}}}} {{{\xi ^{n + 3}}}},n \to \infty \]$ (т.е. растет как правило быстрее, чем вторая степень).

Т.о. доводим до миноранты (оценка для $x$ около единиц):

$\[\begin{gathered} \left| {{R_n}\left( x \right)} \right| = \frac{{{{\left( {50\xi } \right)}^{n + 1}}}} {{{{\left( {1 + 25{\xi ^2}} \right)}^{n + 2}}}}\left| {\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)...\left( {x - {x_n}} \right)} \right| = \frac{{{{\left( {50\xi } \right)}^{n + 1}}}} {{{{\left( {1 + 25{\xi ^2}} \right)}^{n + 2}}}}2\left( {2 - \frac{2} {n}} \right)\left( {2 - \frac{4} {n}} \right)...\frac{2} {n}\frac{2} {n} = \hfill \\ = \frac{{{{\left( {50\xi } \right)}^{n + 1}}}} {{{{\left( {1 + 25{\xi ^2}} \right)}^{n + 2}}}}{2^{n + 1}}\left( {1 - \frac{1} {n}} \right)\left( {1 - \frac{2} {n}} \right)...\frac{1} {n}\frac{1} {n} = \frac{{{{\left( {50\xi } \right)}^{n + 1}}}} {{{{\left( {1 + 25{\xi ^2}} \right)}^{n + 2}}}}{2^{n + 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...1}} {{{n^n}}} = \hfill \\ = \frac{{{{\left( {50\xi } \right)}^{n + 1}}}} {{{{\left( {1 + 25{\xi ^2}} \right)}^{n + 2}}}}{2^{n + 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)!}} {{{n^n}}} \approx \frac{{{{\left( {50\xi } \right)}^{n + 1}}}} {{{{\left( {1 + 25{\xi ^2}} \right)}^{n + 2}}}}{2^{n + 1}}\frac{{n\sqrt {2\pi \left( {n - 1} \right)} {{\left( {\frac{{n - 1}} {e}} \right)}^{n - 1}}}} {{{n^{n - 1}}}} \sim {\left( {\frac{2} {\xi }} \right)^n}{2^n}n\sqrt n \frac{1} {{{e^n}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Ну и видим, что сходимость не имеет места около единиц (ни при каких $\xi$ из отрезка). Но это для отрезка $x \in [-1,1]$.

Для отрезка $[0,1]$ таких эффектов для функции Рунге может не возникнуть (может - я рассматриваю только следствие оценок):$\[\left| {{R_n}\left( x \right)} \right| \sim {\left( {\frac{2} {\xi }} \right)^n}n\sqrt n \frac{1} {{{e^n}}}\] $ - сходимость имеет место, когда $\[\xi \]$ близка к единице.