Комплан

[MChagall]

Необходимо доказать, что $f(z)=\sqrt{z^2}$ распадается над $\mathbb{C}$ на две непрерывные ветви.
Но ведь $\sqrt{z}$ имеет две непрерывные ветви над $\mathbb{C}$ без какого-нибудь луча. Возведение в квадрат перед извлечением корня как-то меняет ситуацию?

[пианист]

MChagall в сообщении #1297032 писал(а):

Но ведь $\sqrt{z}$ имеет две непрерывные ветви над $\mathbb{C}$ без какого-нибудь луча

Можно пояснить смысл фразы? насчет лучей :о
А про две ветви по-моему очевидно, можно явно указать же.

[MChagall]

пианист в сообщении #1297035 писал(а):

Можно пояснить смысл фразы? насчет лучей :о

Погорячился. Перепутал с голоморфностью.

пианист в сообщении #1297035 писал(а):

можно явно указать же

$f(z)=f(re^{i\varphi})=\sqrt{r^2e^{i 2\varphi}}=re^{i \frac{2\varphi+2\pi n}{2}=re^{i(\varphi+\pi n)}$, где $n=0;1$
Тогда
$f_1(z)=f(re^{i\varphi})=re^{i\varphi}=z$
$f_2(z)=f(re^{i\varphi})=re^{i(\varphi+\pi)}=-z$
Верно?

[пианист]

Ну да.

[MChagall]

Ну хорошо, непрерывность очевидна из непрерывности $f(z)=z$ и $f(z)=-z$. А почему нет других ветвей?

[thething]

MChagall в сообщении #1297155 писал(а):

А почему нет других ветвей?

А потому что

MChagall в сообщении #1297074 писал(а):

$n=0;1$