Подскажите происхождение формул, механика сплошных сред(?)

[Ascold]

В космологии нет-нет да появляются формулы для параметров материи(обычно моделируемой жидкостями). А именно, вектор ускорения

$$a_\mu=u_{\mu;\nu}u^\nu,$$

расширение

$$\theta=u^\mu_{\ ;\mu},$$

тензор угловой скорости вращения

$$\omega_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}(u_{\mu,\nu}-u_{\nu,\mu})+\frac{1}{2}(a_\mu u_\nu-a_\nu u_\mu),$$

тензор сдвига

$$\sigma_{\mu\nu}=-u_{\mu;\nu}+a_\mu u_\nu-\frac{1}{3}\theta(u_\mu u_\nu-g_{\mu\nu}).$$

Было бы интересно почитать что-нибудь доказательное, но не очень сложное о том, откуда это всё взялось и каков смысл этих выражений.

[Ascold]

Нашёл интересующие меня формулы в книге Штефани, Крамер, МакКалум "Точные решения уравнений Эйнштейна" (6.13).
Там они возникают при разложении ковариантной производной времениподобного векторного поля $u_iu^i=-1$.
Но всё-таки, почему, если $u_i$ - скорость, то эти величины будут угловой скоростью вращения и т.д.?

[Cos(x-pi/2)]

(имхо не спеца в таких делах)

А как Вы себе представляете ответ на свой вопрос?

Имхо, если детальнее, чем просто "а поговорить", то следует подробно разбирать примеры применения интересующих формул в конкретных расчётах (примерно как и во всяких задачах обычной механики и вообще в физике).

А на уровне "поговорить", имхо, "всё понятно": вектор, подчиняющийся какой-то нормировке (у Вас это некое условие $u \cdot u=-1),$ не умеет "меняться по величине", и, следовательно, может только "поворачиваться". Антисимметрия $\omega_{\mu \nu}$ по индексам, наверное, также говорит о неких поворотах.