Алгебры функций и топология

[mmadt]

Добрый день.

Подскажите, пожалуйста, ответ на следующий вопрос: предположим, $\mathcal{F}$ - некоторая алгебра функций

$$f:M\rightarrow\mathbb{R}},$$

отображающих некоторое множество $M$ на вещественную прямую; возможно ли на этом множестве определить базу топологии как набор подмножеств вида

$$f^{-1}(V), \indent\forall f\in \mathcal{F},\ \forall V:V\mbox{ - открыто в } \mathbb{R};$$

т.е. таким образом, чтобы все функции из алгебры были непрерывными? Изменится ли ответ, если наложить на множество $M$ условие, что оно является множеством гомоморфизмов в $\mathbb{R}$ для какой-то другой алгебры? Может ли, при выполнении указанного условия на $M$, топология Зарисского сведена к указанной, в каком-либо случае?

Спасибо.

[Someone]

mmadt в сообщении #1296940 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, ответ на следующий вопрос: предположим, $\mathcal{F}$ - некоторая алгебра функций

$$f:M\rightarrow\mathbb{R}},$$

отображающих некоторое множество $M$ на вещественную прямую; возможно ли на этом множестве определить базу топологии как набор подмножеств вида

$$f^{-1}(V), \indent\forall f\in \mathcal{F},\ \forall V:V\mbox{ - открыто в } \mathbb{R};$$

т.е. таким образом, чтобы все функции из алгебры были непрерывными?

Вообще говоря, предбазу. Можно. А если функции из $\mathcal{F}$ разделяют точки множества $M$, то эта топология будет вполне регулярной. На самом деле это один из стандартных способов введения топологии (топология, определённая семейством отображений).

[mmadt]

Someone в сообщении #1296941 писал(а):

Вообще говоря, предбазу...

Спасибо. Ваша поправка всё проясняет. :)

[Someone]

Если алгебра функций вместе с каждой функцией $f(x)$ содержит $\lvert f(x)\rvert$, то для любых двух функций $f(x)$ и $g(x)$ туда же входят $\max\{f(x),g(x)\}$ и $\min\{f(x),g(x)\}$, и тогда будет база. Это будет так, если ваша $\mathcal F$ — это полная алгебра ограниченных функций с нормой $\lVert f(x)\rVert=\sup\{\lvert f(x)\rvert:x\in M\}$.

[mmadt]

Спасибо за дополнение. Но в данном случае никаких иных свойств у алгебры функций не предполагалось. Сам вопрос порождён чуть менее общим случаем функций, заданных на множестве $H$ гомоморфизмов в $\mathbb{R}$ некоторой абстрактной алгебры $\mathcal{G}$:

$$\forall h\in H, \forall f\in\mathcal{F}\ \exists g_f\in\mathcal{G}\indent f(h)=h(g_f).$$