Условные вероятности

[ShMaxG]

Мой вопрос касается такого понятия, как условная вероятность события при условии с нулевой вероятностью.

Пусть $A$ -- событие, $\eta$ -- случайная величина. Тогда условной вероятностью события $A$ при условии $\eta=y$ называется функция, обозначаемая $\mathbb{P}(A|\eta=y)$, такая, что для любого борелевского множества $B$ выполнено

$$\mathbb{P}(A\cap\{\eta\in B\})=\int\limits_{B}\mathbb{P}(A|\eta=y)\mathbb{P}_{\eta}(dy)$$

Вопрос 1. Верно ли, что если события $A$ и $\{\eta=y\}$ независимы, то

$$\mathbb{P}(A|\eta=y)=\mathbb{P}(A)$$

Вопрос 2. Пусть дана функция $f(\xi,\eta)$ случайных величин $\xi$, $\eta$. Тогда для любого борелевского множества $B$ выполнено

$$\mathbb{P}(f(\xi,\eta)\in A, \eta\in B)=\int\limits_{B}\mathbb{P}(f(\xi,\eta)\in A|\eta=y)\mathbb{P}_{\eta}(dy)$$

Верно ли, что

$$\mathbb{P}(f(\xi,\eta)\in A|\eta=y)=\mathbb{P}(f(\xi,y)\in A|\eta=y)$$

На первый взгляд кажется, что ответы на каждый из вопросов утвердительные. Я всегда так делал, но сейчас мне интересно строгое формальное обоснование приведенных равенств.

Ответ на вопрос 1. Я так понимаю, что для утверждения о равенстве достаточно существования последовательности событий $B_n$, $\mathbb{P}(B_n)>0$, независимых с $A$ и таких, что в пересечении они дают событие $\{\eta=y\}$. Тогда обе части делим на $\mathbb{P}(B_n)$, переходим к пределу по $n$, слева получаем всегда $\mathbb{P}(A)$, а справа (после магического заклинания, которого я не знаю) получаем тоже $\mathbb{P}(A|\eta=y)$. Может быть равенство верное даже, когда такой последовательности $B_n$ не существует.

Ответ на вопрос 2. Этот вопрос хочется решать аналогично. Я бы записал два равенства

$$\mathbb{P}(f(\xi,\eta)\in A, \eta\in B_n)=\int\limits_{B_n}\mathbb{P}(f(\xi,\eta)\in A|\eta=z)\mathbb{P}_{\eta}(dz)$$

$$\mathbb{P}(f(\xi,y)\in A, \eta\in B_n)=\int\limits_{B_n}\mathbb{P}(f(\xi,y)\in A|\eta=z)\mathbb{P}_{\eta}(dz)$$

взяв те же $B_n$, сходящиеся к $\{\eta=y\}$, поделив на $\mathbb{P}(B_n)$, перейдя к пределу по $n$, получив слева одинаковые величины, а стало быть и одинаковые величины справа. Как обосновать такой переход -- не знаю. В классических учебниках по теории вероятности ответа на свои вопросы не нашел. Помогите, пожалуйста.

[realeugene]

ShMaxG в сообщении #1296730 писал(а):

Верно ли, что если события $A$ и $\{\eta=y\}$ независимы, то

$$\mathbb{P}(A|\eta=y)=\mathbb{P}(A)$$

Именно события независимы, а не распределения, и не как-то иначе? Разве, по определению 3.2 в Боровков А. А., "Теория вероятностей", 2016, события с нулевой вероятностью не являются всегда независимыми от любого события?

[ShMaxG]

realeugene
Из определения 3.2 следовало бы например, что

$$0=\mathbb{P}(A\cap\{\eta=y\})=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(\eta=y)=0$$

Я же спрашиваю про другое, а именно про условную вероятность, которая в случае условия меры нуль определяется не как то самое отношение, а более хитро -- как некая функция, удовлетворяющая функциональному уравнению.

В первом вопросе меня интересует независимость событий. Если бы вместо события $A$ там стояло бы например $\xi\in A$, а случайные величины $\xi$ и $\eta$ были бы независимыми, то конечно

$$\mathbb{P}(\xi\in A|\eta=y)=\mathbb{P}(\xi\in A)$$

как следует из одного из многочисленных свойств условного математического ожидания.

[realeugene]

ShMaxG в сообщении #1296852 писал(а):

Из определения 3.2 следовало бы например, что

$$0=\mathbb{P}(A\cap\{\eta=y\})=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(\eta=y)=0$$

Ага, именно это.

ShMaxG в сообщении #1296852 писал(а):

а случайные величины $\xi$ и $\eta$ были бы независимыми

Вот именно, если бы условием была независимость случайных величин, то вопрос был бы тривиальным. Вы же, явно, хотите выяснить про что-то иное, отличное от определения независимости событий (как минимум, в непрерывном случае, потому что в дискретном случае с ненулевой вероятностью $\mathbb{P}(\eta=y)$ всё тоже тривиально) и отличное от независимости распределений. Мне кажется, что сформулировать, о чём именно вы спрашиваете, тут самое сложное, потому что дальше наверняка всё можно будет свести к независимостям подходящих сигма-алгебр.

[ShMaxG]

Кажется я понял как разобраться со вторым вопросом. Сначала я решил показать, что

$$\mathbb{P}(\eta\in A|\eta=y)=\mathsf{I}_A(y)$$

где $\mathsf{I}_A(y)=1$ при $y\in A$ и $\mathsf{I}_A(y)=0$ при $y\notin A$. Это так, потому что функция $\mathsf{I}_A(y)$ удовлетворяет уравнению

$$\mathbb{P}(\eta\in A,\eta\in B)=\int\limits_{B}\mathbb{P}(\eta\in A|\eta=y)\mathbb{P}_{\eta}(dy)$$

для любого $B$, а условная вероятность определена $\mathbb{P}_{\eta}$-п.н.

Затем я решил рассмотреть уравнение

$$\mathbb{P}(\xi\in A,\eta\in B,\eta\in C)=\int\limits_{C}\mathbb{P}(\xi\in A,\eta\in B|\eta=y)\mathbb{P}_{\eta}(dy)$$

и понял, что подходит функция

$$\mathbb{P}(\xi\in A,y\in B|\eta=y)=\mathbb{P}(\xi\in A|\eta=y)\mathsf{I}_B(y)$$

Далее я заметил, что для борелевской функции $f(\xi,\eta)$ событие $\{f(\xi,\eta)\in A\}$ с борелевским множеством $A$ равносильно событию $\{\xi\in B_1,\eta\in B_2\}$ для борелевских множеств $A_1$ и $A_2$. Тогда решением уравнения

$$\mathbb{P}(f(\xi,\eta)\in A,\eta\in B)=\int\limits_{B}\mathbb{P}(f(\xi,\eta)\in A|\eta=y)\mathbb{P}_{\eta}(dy)$$

является функция

$$\mathbb{P}(\xi\in A_1|\eta=y)\mathsf{I}_{A_2}(y)=\mathbb{P}(\xi\in A_1,y\in A_2|\eta=y)=\mathbb{P}(f(\xi,y)\in A|\eta=y)$$

Буду очень признателен, если кто-то проверит мои выкладки.

-- Пн мар 12, 2018 22:26:32 --

Теперь что касается первого вопроса. Предположим, что для $\mathbb{P}_{\eta}$-п.в. $y$ выполнено

$$\mathbb{P}(A|\eta=y)=\mathbb{P}(A)$$

Тогда по определению условной вероятности мы имеем

$$\mathbb{P}(A,\eta\in B)=\int\limits_{B}\mathbb{P}(A)\mathbb{P}_{\eta}(dy)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(\eta\in B)$$

Значит для любого $B$ события $\eta\in B$ и $A$ независимы. И наоборот.

Получается, что справедливо следующее утверждение: для равенства $\mathbb{P}(A|\eta=y)=\mathbb{P}(A)$, $\mathbb{P}_{\eta}$-п.в., необходимо и достаточно, чтобы для любого борелевского множества $B$ события $A$ и $\{y\in B\}$ были независимы.

В общем, любые замечания/комментарии приветствуются.