Гомоморфизм из факторкольца в кольцо

[Sorrow]

Пусть у нас есть кольцо R, его идеал I и факторкольцо R/I
На одной лекции я увидел замечание без доказательства, что не существует гомоморфизма из R/I в I
Но, к примеру, если идеал I тривиален и состоит только из 0, то и отображение факторизации будет тождественным отображением, а оно, очевидно, обратимо.
Что можно сказать о произвольном гомоморфизме R/I -> I? Было предложение всё отобразить в 0, но если сказать, что R имеет единицу и наложить условие, что f(1)=1, то так сделать не получится.

[AV_77]

Пусть $R = \mathbb{Z}^{\infty}$ - полная прямая сумма с бесконечным числом слагаемых (элементы из $R$ содержат не обязательно конечное число ненулевых компонент). Пусть $I \simeq \mathbb{Z}^n$ - его идеал, порожденных конечным числом слагаемых. Тогда $R / I \simeq R$. Можно даже построить гомоморфизм $R / I \to R$ с нетривиальным ядром.

[vpb]

Замечание, что не существует гомоморфизма из $R/I$ в $I$, оно несколько условно. Есть вообще разные варианты того, что понимать под гомоморфизмом колец. Например, пусть $A$ и $B$ --- два экземпляра ${\mathbb Z}$, $R=A\oplus B$ --- их прямая сумма (как кольцо), т.е. $R$ --- это множество всех пар $(x,y)$, где $x,y\in{\mathbb Z}$ и сложение и умножение определяются покомпонентно: $(x,y)+(x_1,y_1)=(x+x_1,y+y_1)$, $(x,y)(x_1,y_1)=(xx_1,yy_1)$. В качестве $I$ берем $B=\{(0,y)\mid y\in{\mathbb Z}\}$. Тогда оба $R/I$ и $I$ изоморфны ${\mathbb Z}$, и ясно, что гомоморфизм существует. А вообще утверждение как-то странно выглядит. Если хотите узнать больше, можете привести контекст (более длинный отрывок из лекции, ссылку и т.д.)

[Sorrow]

Благодарю за контрпримеры
Возможно, лектор хотел сказать что-то другое, но я другого смысла не нашел
В любом случае не буду зацикливаться на этом