Сходимость последовательности в пространстве

[hollo]

Последовательность $t^{n}-t^{n+1}$ в $C[0,1]$
Рассуждал так:

Найдем
$\left\lvert x_n-x\right\rvert=\max\limits_{t\in[0,1]}\left\lvert t^{n}-t^{n+1} \right\rvert$ на $[0,1]$
Производная : $nt^{n-1}-(n+1)t^{n}$ равна нулю при:
$t=0$ и любом $n$
Значит максимум либо в 0 либо в 1(конец промежутка, тоже можно проверить), но тк
$f(0)=0$, $f(1)=0$, то последовательность сходится к 0, а значит является фундаментальной.

На сколько это правильно?

[thething]

hollo в сообщении #1296017 писал(а):

Производная : $nt^{n-1}-(n+1)t^{n}$ равна нулю при:
$t=0$ и любом $n$

Там есть еще корень $t=\frac{n}{n+1}$ -- и это и будет точкой максимума

[hollo]

thething
А этого достаточно, чтобы сказать, что последовательность не сходится?

upd Удовлетворяет критерию Коши

[thething]

hollo
А почему она должна не сходиться? Найдите предел $f(t_{\max})$

[hollo]

thething
Предел $f(\frac{n}{n+1})=\frac{1}{e}-\frac{1}{e}=0$

[thething]

hollo
Вы получили ответ на Ваш вопрос? Есть сходимость? Есть фундаментальность?

-- 08.03.2018, 16:23 --

Если что, посмотрите определения сходимости в нормированном пространстве и фундаментальности. Если считать, что известен факт полноты $C[0,1]$, то одно будет следовать из другого. Если же полнота неизвестна, то фундаментальность можно вывести из сходимости просто потому, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна.

[hollo]

thething
Да, получил. Есть и то и другое. Спасибо!