Подряды положительных рядов

[vladb314]

Требуется консультация специалистов!

Задача. Пусть даны две числовые последовательности $a_n$, $b_n$, удовлетворяющие условиям:

1) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0, \quad \lim_{n\to\infty} b_n = 0$;
2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = 0$;
3) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = +\infty, \quad \sum_{n=1}^\infty b_n = +\infty$.

Требуется доказать или опровергнуть существование для любых таких $a_n$ и $b_n$ такой последовательности номеров $n_k$, что

$$\sum_{k=1}^\infty a_{n_k} < +\infty, \quad \sum_{k=1}^\infty b_{n_k} = +\infty.$$

Попытки решения.

Рассмотрен пример $a_n = \dfrac{1}{n\ln{n}}, b_n = \dfrac{1}{n}$. Тогда можно взять $n_k = \lceil k \ln (k+1) \rceil$, где $\lceil \cdot \rceil$ - округление до целого в сторону увеличения. На других подобных примерах последовательность $n_k$ также удаётся подобрать. Но, я так понимаю, множество расходящихся положительных рядов, у которых выполняется необходимое условие сходимости, не исчерпывается выражениями с логарифмами, поэтому эти примеры к общему случаю имеют слабое отношение.

Была рассмотрена частная постановка задачи. Зафиксирована последовательность $b_n = \dfrac{1}{n}$. Тогда

$$a_n = \frac{1}{n d_n}, \qquad d_n \rightarrow +\infty.$$

Теперь требуется подобрать $n_k$ для любых $d_n$.
Попытался доказать от противного - не получилось.
Максимум, что получилось, доказать, что из любого ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ можно выделить сходящийся "подряд" $\sum_{k=1}^\infty a_{n_k}$. Но при этом соответствующий подряд $\sum_{k=1}^\infty b_{n_k}$ также может сходиться.
Может быть, я не вижу чего-то совсем очевидного...

[RIP]

Подсказка: докажите, что для произвольного $m\in\mathbb{N}$ можно найти $N,H\in\mathbb{N}$, такие что $\displaystyle\sum_{n=N+1}^{N+H}b_n>1$, $\displaystyle\sum_{n=N+1}^{N+H}a_n<\frac{1}{\,m^2}$, причём $N$ можно взять сколь угодно большим.

[vladb314]

RIP в сообщении #1295693 писал(а):

Подсказка: докажите, что для произвольного $m\in\mathbb{N}$ можно найти $N,H\in\mathbb{N}$, такие что $\displaystyle\sum_{n=N+1}^{N+H}b_n>1$, $\displaystyle\sum_{n=N+1}^{N+H}a_n<\frac{1}{\,m^2}$, причём $N$ можно взять сколь угодно большим.

Правильно ли я понимаю, что если

$$ \forall m\in \mathbb{N} \quad \exists N, H \in \mathbb{N}\quad \sum_{n=N+1}^{N+H} a_n < \frac{1}{m^2} $$

то ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, а так как этот ряд по условию расходится, то первое неверно?

[DeBill]

vladb314 в сообщении #1295700 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что если

Нет.
Обратите внимание: в критерии Коши надо "для любого $H$"....

[vladb314]

DeBill в сообщении #1295756 писал(а):

vladb314 в сообщении #1295700 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что если

Нет.
Обратите внимание: в критерии Коши надо "для любого $H$"....

Да, да, это моя ошибка. Поторопился, не вникнув в существо подсказки RIP'а.

RIP в сообщении #1295693 писал(а):

Подсказка: докажите, что для произвольного $m\in\mathbb{N}$ можно найти $N,H\in\mathbb{N}$, такие что $\displaystyle\sum_{n=N+1}^{N+H}b_n>1$, $\displaystyle\sum_{n=N+1}^{N+H}a_n<\frac{1}{\,m^2}$, причём $N$ можно взять сколь угодно большим.

Получил следующее. Не умаляя общности, можно считать, что $a_n, b_n < 1$. В противном случае можно отбросить конечное число первых членов в исходных рядах $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$. Теперь так как $\dfrac{a_n}{b_n}\rightarrow 0$, то

$$\forall m\in\mathbb{N} \quad \exists N'\in \mathbb{N} \quad \forall n > N' \quad \frac{a_n}{b_n}<\frac{1}{2m^2},$$

т.е.

$$a_n<\frac{1}{2m^2}b_n.$$

Пусть значению $m=1$ соответствует значение $N'_1$. Возьмём $N_1 = N'_1$ и подберём $H_1$ таким образом, чтобы

$$\sum_{n=N_1+1}^{N_1+H_1} b_n > 1, \quad \text{но} \quad \sum_{n=N_1+1}^{N_1+H_1-1} b_n < 1.$$

Тогда

$$\sum_{n=N_1+1}^{N_1+H_1} b_n =\sum_{n=N_1+1}^{N_1+H_1-1} b_n + b_{N_1+H_1} < 2;$$

$$\sum_{n=N_1+1}^{N_1+H_1} a_n < \frac{1}{2m^2} \sum_{n=N_1+1}^{N_1+H_1} b_n < \frac{1}{m^2}.$$

Пусть теперь значению $m=2$ соответствует $N'_2$. Возьмём $N_2=\max\{N'_2,N_1+H_1\}$. Для него аналогично найдём значение $H_2$. И т.д. Множество искомых номеров $\{n_k\}$ будет представлять собой объединение $\bigcup\limits_{m=1}^\infty \{N_m+1,...,N_m+H_m\}$. Дальше всё понятно. Спасибо огромное!