Что тaкое бесконечное множество?

[Ivan_B]

Контекст:
Зорич стр. 82.
Лемма (Борель- Лебег). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Из доказательства:

...Если бы отрезок $I_1$ не допускал покрытия конечным набором интервалов системы $S$, то, поделив $I_1$ пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через $I_2$, тоже не допускает конечного покрытия...

Можно ли сказать что система это множество? (Для себя я ответил на этот вопрос положительно)
На чем основывается утверждение из доказательства?
То, что я нашел в Зориче:
Зорич стр 47.
Таким образом, множество называется конечным (по Дедекинду), если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству; в противном случае оно называется бесконечным.
Зорич стр 29.
Говорят, что множество $X$ равномощно множеству $Y$, если существует биективное отображение $X$ на $Y$.

Если бы можно было определить конечное множество как множество равномощное некоторому множеству $A=\Left\{n\in \mathbb N | n < N\Right\}$, то утверждение о том, что если объединение двух множеств бесконечно, то и среди объединяемых множеств есть бесконечные, можно было бы легко доказать от противного.
Стоит ли так делать?

[thething]

Система интервалов -- это множество. Конечное множество обычно определяется, как множество, состоящее из конечного числа точек (объектов). Вроде Дедекинд тоже это подразумевает. Что Вас не устраивает в стандартном доказательстве этой леммы, объясните, пожалуйста почётче.

[mihaild]

Ivan_B в сообщении #1295058 писал(а):

Можно ли сказать что система это множество?

Да, в данном случае это синонимы.

Ivan_B в сообщении #1295058 писал(а):

Стоит ли так делать?

Зависит от того, насколько глубоко вы хотите залезать в теорию множеств. Чтобы доказать, что множество, неравномощное никакому собственному подмножеству, равномощно некоторому натуральному числу, требует в каком-то виде аксиомы выбора. Но без нее можно доказать, что в бесконечном множестве есть счетное подмножество, и остается доказать, что если счетное множество разбито на два, то хотя бы одно из них счетно.

[Someone]

Ivan_B в сообщении #1295058 писал(а):

Можно ли сказать что система это множество?

Чтобы не повторять без конца слово "множество", используются и другие слова, которые рассматриваются как синонимы слова "множество": система, совокупность, семейство, класс…. Термины "класс" и "совокупность" иногда используются как более общее понятие, чем множество, но об этом обычно предупреждают.

[Ivan_B]

mihaild в сообщении #1295080 писал(а):

Зависит от того, насколько глубоко вы хотите залезать в теорию множеств.

Моя цель - выписать все утверждения, которые нужно принять на веру, остальное(школьная математика, которую я неплохо знаю, но на школьном уровне и мат анализ, который я не знаю) хотелось бы из них получить. Список хотелось бы минимизировать. Поэтому залазить в теорию множеств я не хотел бы глубже, чем это необходимо для достижения моей текущей цели. Оценить правильность того, что у меня получается мне сложно. Сейчас в мой список входят аксиомы сложения, умножения, порядка, их связи, аксиома полноты, свойство равенства $x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$, то, что множество натуральных чисел - минимальное индуктивное множество(доказать это исходя из аксиом теории множеств в той формулировке, в которой они даны в Зориче, у меня не получилось) В моем списке есть нестыковка: с одной стороны $0 := \varnothing, 1 := \Left\{\varnothing\Right\}, 2 :=\Left\{\varnothing\Right\} \cup \Left\{\Left\{\varnothing\Right\}\Right\}, ...$, с другой ноль и единица - нейтральные элементы, которые существуют по оной из аксиом сложения и умножения. Возможно из-за этого мне придется залезть в теорию множеств. Если бы это было единственной проблемой, то я бы ее оставил на потом и пошел дальше.

[Ivan_B]

thething в сообщении #1295060 писал(а):

Что Вас не устраивает в стандартном доказательстве этой леммы

С доказательством все хорошо. Но мне хотелось бы уметь отвечать на вопрос почему такое-то утверждение из такого-то доказательства верное. Ответ должен быть как можно короче(в идеале - ссылка на аксиому, доказанную ранее теорему или лемму) Вот сейчас я не смог обосновать утверждение из леммы и написал, что я нашел в Зориче и что пробовал делать.

Someone в сообщении #1295094 писал(а):

Термины "класс" и "совокупность" иногда используются как более общее понятие

Спасибо за развернутый ответ, который дает возможность, в отличии от ответа "Да", копнуть глубже. Сейчас я этого делать не буду, потому что уже очень долго топчусь на одном месте, но позже собираюсь к подобным вопросам вернуться.

[Walker_XXI]

Ivan_B в сообщении #1295124 писал(а):

thething в сообщении #1295060 писал(а):

Что Вас не устраивает в стандартном доказательстве этой леммы

С доказательством все хорошо. Но мне хотелось бы уметь отвечать на вопрос почему такое-то утверждение из такого-то доказательства верное.

Ivan_B в сообщении #1295058 писал(а):

Из доказательства:

...Если бы отрезок $I_1$ не допускал покрытия конечным набором интервалов системы $S$, то, поделив $I_1$ пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через $I_2$, тоже не допускает конечного покрытия...

Данное утверждение элементарно доказывается от противного. В том числе и с определением конечного множества по Дедекинду.

(Оффтоп)

Ivan_B в сообщении #1295099 писал(а):

Моя цель - выписать все утверждения, которые нужно принять на веру
...
Сейчас в мой список входят аксиомы
...
то, что множество натуральных чисел - минимальное индуктивное множество(доказать это исходя из аксиом теории множеств в той формулировке, в которой они даны в Зориче, у меня не получилось)

По-моему, в Вашем подходе есть серьёзный изъян. Аксиомы принимаются не на веру, а бездоказательно, волюнтаристски, если так можно сказать. Это безусловно истинные утверждения, которые кладутся в основу дальнейших логических рассуждений. А на веру можно принимать, утверждения, доказательств (или опровержений) которых вы пока не знаете или в которых не смогли разобраться.

Что касается аксиом, то тут вы, наверное, перепутали с естественными науками (например, физикой), где определённые утверждения, как обобщение экспериментальных фактов, служат основой аксиоматического построения теории (там они обычно называются постулатами). И то речь скорее идёт не о принятии на веру, а о гипотезе, что какое-то утверждение верно и в более широкой области, чем было экспериментально проверено.

[thething]

Попробуем доказать, что определение по Дедекинду эквивалентно тому, что множество состоит из конечного числа точек. В одну сторону очевидно (пусть множество состоит из конечного числа точек, тогда легко понять, что верно определение по Дедекинду). Обратно: пусть верно определение по Дедекинду. Предположим, что множество бесконечно. Тогда доказываем, что из него выделяется счетное подмножество так, что оставшаяся часть эквивалентна всему исходному множеству, что дает противоречие. Само доказательство этого факта делается конструктивно по шагам: на каждом шаге можно выбрать два элемента, неравных между собой и не равных тем, что уже были выбраны ранее. Если надо поподробнее, скажите.

[mihaild]

thething в сообщении #1295145 писал(а):

Само доказательство этого факта делается конструктивно по шагам: на каждом шаге можно выбрать два элемента, неравных между собой и не равных тем, что уже были выбраны ранее.

Не делается: нам нужна функция, которая для всех шагов выдаст элемент.
И не делается принципиально, потому что (без аксиомы выбора) могут существовать бесконечные множества, не содержащие счетного подмножества.

[thething]

mihaild
Ну, я подумал, что что-то типа аксиом выбора у ТС есть, ведь он же написал, что у него есть утверждения, принимаемые на веру.. Мне вообще кажется, что проще всего без Дедекинда, сказать, что конечное множество содержит конечное число элементов и все. По крайней мере на данном этапе анализа. Как Вы считаете?

[Ivan_B]

Мне нужно общепринятое определение, которое бы позволило бы достигнуть максимальной четкости в доказательстве, то есть заменить такие слова как "очевидно" тем, что за ними стоит.
Мне это место кажется очень важным, потому что подобный прием с делением применяется часто, кроме того, на самой этой лемме основывается теорема Вейерштрасса о максимальном значении, на ней теорема Ролля, на ней теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении.

Я говорю "принять на веру" из-за того, что в в Зориче аксиома Архимеда доказывается(в Фихтенгольце это аксиома), а в Фихтенгольце правила сложения действительных чисел доказываются(в Зориче это аксиомы) А вот общепринятого списка аксиом у меня нет.

[thething]

Могу ошибаться, но вроде есть теорема Трахтенброта, которая утверждает, что не существует "идеального" определения конечного множества.

Ivan_B в сообщении #1295173 писал(а):

подобный прием с делением применяется часто, кроме того, на самой этой лемме основывается теорема Вейерштрасса о максимальном значении, на ней теорема Ролля, на ней теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении

Вейерштрасса и все остальное можно доказать без Бореля (не сочтите за отмазку, я понял Вашу мысль, просто альтернативы есть)

[Ivan_B]

thething в сообщении #1295175 писал(а):

Вейерштрасса и все остальное можно доказать без Бореля

Ну в Фихтенгольце используется лемма Больцано-Вейерштрасса, которая там же доказывается через деление пополам и бесконечное множество напрямую. В Зориче Больцано-Вейерштрасса доказывается через Бореля-Лебега(с этим доказательством у меня тоже проблема). Интуитивно мне кажется, что для доказательства существования будет нужна аксиома существования, единственное что подходит - аксиома полноты, а для нее нужны два множества, которые нужно как-то построить.

[thething]

Предлагаю такую последовательность: аксиома полноты-существование точной верхней грани-теорема Кантора о вложенных отрезках-Борель-Больцано-Вейерштрасс.

Ivan_B в сообщении #1295176 писал(а):

нужны два множества, которые нужно как-то построить.

Мое мнение, что идеального начала не существует. Разные изложения вроде как это подтверждают.

[Ivan_B]

thething в сообщении #1295182 писал(а):

Мое мнение, что идеального начала не существует.

Тогда и искать что-то еще я не буду. Спасибо за помощь.

Мой вывод по исходному вопросу (Что тaкое бесконечное множество?) Привожу его на тот случай, если я все не так понял, чтобы в этом случае мне указали на мою ошибку.
Раз мой вариант никто не охарактеризовал как неверный или как тот, которому есть лучшая альтернатива, на нем и остановлюсь:
Конечное множество - множество, которое равномощно некоторому множеству $A=\Left\{n\in \mathbb N | n < N\Right\}$. Иначе оно бесконечное.