Итак, получив ответ на свой главный вопрос ---
Женисбек писал(а):
![$L=\{(x,y): x=x(t), y=y(t), t\in[0,2\pi]\}$ $L=\{(x,y): x=x(t), y=y(t), t\in[0,2\pi]\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/0/f109ce3c12ec573e88ba185e61c906a982.png)
- строго выпуклая замкнутая кривая,
![$x(t), y(t) \in C^{(\infty)}[0,2\pi]$ $x(t), y(t) \in C^{(\infty)}[0,2\pi]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/1/c21001f27d78d68cf9234aa9da0e0f8c82.png)
.
Верно ли, что кривизна отлична от нуля всюду на

?
автор заинтересовался, всегда ли в точке выпрямления кривой выполнено увиденное им соотношение

? Один из собеседников подумал, что поскольку в рассмотренных примерах нулевая кривизна была одновременно экстремальной, то именно это могло повлиять на возникновение такого соотношения. Это, похоже, не так: экстремум ни при чём, локальна выпуклость не требуется...
Если в основном вопросе замкнутость и могла как-то влиять на ответ, то в вопросе дополнительном замкнутость, видимо, совсем неинтересна, задачка чисто локальная. Равным образом условие
![$x(t), y(t) \in C^{(\infty)}[0,2\pi]$ $x(t), y(t) \in C^{(\infty)}[0,2\pi]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/1/c21001f27d78d68cf9234aa9da0e0f8c82.png)
--- просто перестраховка.
Рассмотрим небольшую окрестность точки выпрямления, такую, что в локальной системе координат кривая может быть описана зависимостью

, или

. Тривиально получаем, поскольку

и

, то да,

в точке выпрямления.
Рассмотрим теперь натуральную параметризацию кривой

. Пусть

--- угол наклона касательной. Тогда (дифферецирование по

)
и, если

, то

и

.
На свой же вопрос, как это отреагирует на произвольную перепараметризацию, я пока не ответил (и пока не изучил написанное автором). Вопрос, похоже, тривиальный, но обеденный перерыв кончился...
Добавлено спустя 8 минут 17 секунд (похоже, начальство уже тонко чувствует, когда мне надо на форум сходить, и уходит...):
Ну да, тривиальные выкладки. Пусть

и

. Тогда
Этот последний вывод можно было сделать легко одними мозгами (нерасплавленными, разумеется): ежели мы имели функцию
с горизонтальной касательной к графику в точке

(т.к.

), то при (адекватном) переходе к новому параметру

это свойство никуда не денется.