Является ли данное выражение общим интегралом ДУ?

[Twolka]

(Оффтоп)

Зачем постоянно осознавать то, что можно просто написать и забыть?

-- 26.02.2018, 19:39 --

Ладно, понятно.

А то, что я изначально спрашивал, я спросил сегодня у преподавателя. Он сказал, что общее решение/общий интеграл не обязаны быть определены при $\forall C \in\mathbb{R}$. Так что вопрос, получается, снят.

Спасибо огромное.

P.s. Всё же хотелось бы узнать ответ на этот вопрос:

alcoholist в сообщении #1294513 писал(а):

На какой кривой лежат точки перегиба траекторий?

Для этого нужно найти вторую производную этого уравнения, а потом приравнять нулю? Тогда получается $y = -\dfrac{1}{2}$, если я не ошибаюсь. Или всё-таки не так?

[alcoholist]

Twolka в сообщении #1294520 писал(а):

Или всё-таки не так?

Нет))
Исключите $C$ из уравнений $y=y(x,C)$, $y''(x,C)=0$.

-- Пн фев 26, 2018 20:29:18 --

У каждой интегральной кривой (а они нумеруются значениями параметра $C$) своя точка перегиба. Точки перегиба лежат на этой кривой.

[Twolka]

alcoholist в сообщении #1294534 писал(а):

Исключите $C$ из уравнений $y=y(x,C)$, $y''(x,C)=0$.

Хорошо, а как это сделать? выразить C из уравнения $y=y(x,C)$, а потом подставить в $y''(x,C)=0$?
(системы ДУ я ещё не проходил, может это с этим связано..).
К тому же, у меня есть же общий интеграл, но общего решения нет (если не считать то, которое Вы мне дали).

[alcoholist]

Я не предлагаю решать систему ДУ, я предлагаю взять общее решение $y=\varphi(x,C)$ и исключить $C$ из системы алгебраических уравнений

$$\left\{\begin{array}{l} y=\varphi(x,C)\\ \\ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}(x,C)=0\end{array}\right., $$

получив при этом уравнение кривой $y(x)$, на которой лежат точки перегиба интегральных кривых.

[Twolka]

Значит, должно быть так:
(И всё же для этого нужно сначала получить общее решение, которого нет изначально)

$y = \sqrt3 \sh(C + \ln(x^2))$
$y' = 2\sqrt3 \dfrac{\ch(C + \ln(x^2))}{x}$
$y'' = 2\sqrt3 \dfrac{2\sh(C + \ln(x^2)) - \ch(C + \ln(x^2))}{x^2}$

$y'' = 0 \Rightarrow$ $2\sh(C + \ln(x^2)) - \ch(C + \ln(x^2)) \Rightarrow$ $e^{C + \ln(x^2)} - e^{-(C + \ln(x^2))} = \dfrac{e^{C + \ln(x^2)} + e^{-(C + \ln(x^2))}}{2} \Rightarrow$ $e^{2(C + \ln(x^2))} = 3 \Rightarrow$ $e^C x^2 = \sqrt3 \Rightarrow$ $ \dfrac{x^2}{\sqrt3} = e^{-C} \Rightarrow$ $C = -\ln\dfrac{x^2}{\sqrt3}$

$y = \sqrt3 \sh(\ln(\sqrt3))$ - Эта?

[alcoholist]

Twolka в сообщении #1294576 писал(а):

Эта?

она же $y=1$

[Twolka]

Ок, спасибо