Вопрос про непрерывную кривую

[Rusit8800]

При решении задачи 6 из этой книги возник вопрос, который я впоследствии обобщил следующим образом:

Пусть задан кусок гладкой кривой в $n$-мерном пространстве. Верно ли, что найдется точка на этой кривой, имеющая рациональные координаты?

Мне почему-то даже кажется, что таких точек найдется бесконечно много. Если это так, то в задаче 6 требование существования рациональной точки необязательно.

[ИСН]

Много ли у Вас точек с рациональными координатами на гладкой кривой $(t,t^2,t+\pi)$?

[Евгений Машеров]

$y=\pi$

[Rusit8800]

ИСН в сообщении #1294777 писал(а):

Много ли у Вас точек с рациональными координатами на гладкой кривой $(t,t^2,t+\pi)$?

Число $\pi$ делает одну из координат иррациональной при рациональном $t$. Я как-то и не думал, что можно будет так бегло придумать контрпример.

-- 27.02.2018, 19:29 --

Евгений Машеров в сообщении #1294778 писал(а):

$y=\pi$

Но здесь лежат рациональные точки $(t,\pi )$, если $t$-рационально.

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1294780 писал(а):

Но здесь лежат рациональные точки $(t,\pi )$, если $t$-рационально.

Обычно рациональная точка кривой — это точка, все координаты которой рациональные.
Потому что для непрерывной кривой всегда есть точки, у которых часть координат рациональные. Это следует просто из свойств непрерывных функций.
Но здесь, конечно, нужно точно определить, что подразумевается под непрерывной кривой.

[Rusit8800]

Someone в сообщении #1294788 писал(а):

Потому что для непрерывной кривой всегда есть точки, у которых часть координат рациональные.

Хотя да.

-- 28.02.2018, 17:57 --

Похоже вопрос исчерпан.