Задача на доказательство свойтсва стереографической проекции

[ioleg19029700]

Показать, что при стереографической проеции окружностям и прямым комплексной плоскости соответствуют окружности на сфере Римана. Не получается сделать даже для окружности на комплексной плоскости. Записав её уравнение

$$x^2 + y^2 = R^2$$

и воспользовавшись формулами

$$x = \frac{\xi}{1-\zeta}, \, y = \frac{\eta}{1-\zeta}$$

Я получил

$$\frac{\xi^2}{(1-\zeta)^2} + \frac{\eta^2}{(1-\zeta)^2} = R^2$$

Что нужно получить отсюда я не понимаю. Уравнение окружности в пространстве или как-то "связать"

$$x,\, y \text{ с } \zeta?$$

[DeBill]

ioleg19029700 в сообщении #1294577 писал(а):

Записав её уравнение

$$x^2 + y^2 = R^2$$

и воспользовавшись формулами

Не любая окружность на плоскости задается так...

ioleg19029700 в сообщении #1294577 писал(а):

Уравнение окружности в пространстве

А как задать окружность в пространстве? Впрочем, с этим у Вас проблем быть не дОлжно: она же - на сфере, так что такая окружность есть пересечение плоскости со сферой....
А Вы не забыли, что точка $(\xi,\eta,\zeta)$ - на сфере? И какое у нее уравнение?

[ioleg19029700]

DeBill
Значит нужно было использовать общее уравнение окружности

$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2?$$

Уравнение для точки на сфере есть

$$\xi^2+\eta^2+\zeta^2=\zeta$$

Теперь нужно как-то задать это сечение получается, используя предыдущее и вот это уравнение для точки на сфере?

[DeBill]

Да!
Например, в том примере. что Вы смотрели: видим, что из Ваших ур-й, можно найти дзету....