Функция аргумента пути

[Nickspa]

Пусть $\gamma:[0, 1]\to\mathbb{C}\setminus\left\lbrace0\right\rbrace$ - путь.
а) Доказать, что (многозначная) функция $Arg(\gamma(t))$ распадается над всем отрезком $[0, 1]$ на счётное множество непрерывных ветвей $\varphi_i,i\in\mathbb{Z}$, причём любые из этих двух ветвей отличаются друг от друга на кратную $2\pi$ величину.
б) Обозначим $\Delta_\gamma Arg z:=\varphi_j(1)-\varphi_j(0)$. Доказать, что функция $\Delta_{(\gamma -a)} Arg z$ непрерывна по $a$ вне множества $[\gamma]:=\left\lbrace\gamma(t):t\in[0, 1]\right\rbrace$ (носителя пути $\gamma$).

Нужно строгое доказательство. Под а), вроде, сделал. Может кто посмотреть и сказать есть ли ошибки и что добавить, о чем подумать. Под б) даже не знаю с чего начать.
а). Пусть $\gamma(t)=x(t)+iy(t)$. Из определения пути (непрерывное отображение $[0, 1]$ в $\mathbb{C}$) следует, что для любого $t_0$ существует $\varepsilon$-окрестность $\gamma (t_0)$, в которой можно ввести непрерывную функцию $\arctg\frac{y(t)}{x(t)}$ (на мнимой оси доопределим до непрерывности, т.е. $\frac{\pi}{2}+2\pi n; \frac{3\pi}{2}+2\pi n$), т.е. $\forall t_0\in [0, 1] \exists \delta : \exists\Phi_\delta\in C((t_0-\delta, t_0+\delta$)), $\Phi_\delta(t)\in Arg (\gamma(t)), t\in (t_0-\delta, t_0+\delta)$. Далее, покрываем компакт $[0, 1]$ окрестностями, из которых выбираем конечное подпокрытие. На образах этих окрестностей у нас определена система непрерывных функций $\Phi_j$, которые отличаются на $2\pi n$. Осталось их "склеить": в каждой точке $\gamma (t)$ берем равные значения аргументов. Может кто сказать, если что-то неверно и какие "пробелы" в решении. И по поводу решения пункта б)?

[thething]

Под б), видимо, начать надо с того, чтобы понять, что такое $\gamma-a$, затем расписать приращение аргумента по формуле, ну и увидеть непрерывность, либо проверить по определению. Насчет правильности-неправильности а) пока что не вникал (попозже вникну). Сам я привык к интегральной форме задания. Ну и мне не нравится то, как Вы доказываете единственность (может оттого, что не вникал в начала доказательства).

[thething]

В вашем решении меня смущает 2 момента:
1. Функция арктангенс принимает значения $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, а как же остальные, ведь аргумент (главная ветвь) должен определяться в диапазоне $[0,2\pi)$, либо $[-\pi,\pi)$
2. Вы не проверили, что Ваша функция действительно задает угол. По определению надо проверить, что

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos{\varphi(t)}=\frac{x(t)}{\left\lvert\gamma(t)\right\rvert}& \\ \sin{\varphi(t)}=\frac{y(t)}{\left\lvert\gamma(t)\right\rvert} \\ \end{array} \right.$$

Также, в условии не хватает указания, что $\gamma(t)\ne0$ $\forall{t}\in[0,1]$.
Что я предлагаю (если не сможете обосновать свое): во-первых, задаться начальным условием, т.е. предположить, что у нас есть $\varphi_0\in{Arg\gamma(0)}$. Во-вторых, в качестве искомой взять функцию $\varphi(t)=\varphi_0+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\frac{y'(\tau)x(\tau)-x'(\tau)y(\tau)}{x^2(\tau)+y^2(\tau)}d\tau$. Данная функция при дифференцировании как раз даст производную Вашего арктангенса, т.е. догадаться до нее не так уж и трудно. Далее, остается показать ее непрерывность (очевидно, даже и гладкость бесплатно прилагается))), выполнение начального условия, и -- самое главное -- что это действительно угол. Для последнего рассматриваем две вспомогательные системы функций $\left\{ \begin{array}{rcl} u(t)=\cos\varphi(t) \\ v(t)=\sin\varphi(t) \\ \end{array} \right$ и $\left\{ \begin{array}{rcl} u_1(t)=\frac{x(t)}{\left\lvert\gamma(t)\right\rvert}& \\ v_1(t)=\frac{y(t)}{\left\lvert\gamma(t)\right\rvert} \\ \end{array} \right$, показываем, что эти пары удовлетворяют одним и тем же задачам Коши (системам ОДУ) и применяем теорему о существовании и единственности решения ЗК.

[thething]

Теперь насчет единственности, а заодно, почему все непрерывные ветви отличаются на $2\pi{k}$ (если честно, то я не понял Ваши рассуждения про "склеить"): пусть есть еще одна непрерывная функция $\psi(t)\in{Arg\gamma(t)}$ с тем же начальным условием, тогда $g(t)=\varphi(t)-\psi(t)$ -- непрерывна и по построению $g(t)=2\pi{k(t)}$, $k(t)\in\mathbb{Z}$ (т.к. это разность углов в одной и той же точке кривой, зависящей от $t$). При этом $g(0)=\varphi(0)-\psi(0)=\varphi_0-\varphi_0=0$.
Таким образом, $g(t)$ -- непрерывная функция на отрезке $[0,1]$, принимающая только дискретные значения. Подумайте, почему этого быть не может, потом сделайте вывод, что $g(t)=2\pi{k}$, $k$ не зависит от $t$, и, следовательно, $k=0$.

[arseniiv]

thething в сообщении #1294486 писал(а):

если честно, то я не понял Ваши рассуждения про "склеить"

Может быть, ТС решил разрезать путь на части, на каждой из которых приращение аргумента равно $2\pi$. Только не каждый ведь нарезает целое число оборотов, да и в задании явно упоминается $\varphi_j(1)-\varphi_j(0)$, что должно бы исключить такую трактовку, ведь все куски кроме одного уже не будут определены в 1, и то же с 0. Или не угадал.

[Nickspa]

Под б), вроде, к чему-то пришёл.
$(\gamma -a)(t)=\gamma (t)-a$
Надо доказать, что $\forall a_0 \forall \varepsilon \exists \delta : \forall a\in B_\delta(a_0)=\left\lbrace \left a: \left\lvert a-a_0\right\rvert<\delta\right\rbrace\Rightarrow \left\lvert\Delta_{(\gamma -a)}-\Delta_{(\gamma -a_0)}\right\rvert<\varepsilon$. Верно ли это?
Далее. Пусть $\gamma (1)-a=b_1, \gamma (1)-a_0=b_0, \gamma (0)-a=c_1, \gamma (0)-a_0=c_0$. Тогда $\Delta_{(\gamma -a)}-\Delta_{(\gamma -a_0)}=(\varphi_j(b_1)-\varphi_j(c_1))-(\varphi_j(b_0)-\varphi_j(c_0))$$=(\arg(b_1)-\arg(b_0))-(\arg(c_1)-\arg(c_0))$. Но $b_1-b_0=\gamma(1)-a-\gamma(1)+a_0=a_0-a$. И получается $\left\lvert b_1-b_0\right\rvert=\left\lvert a_1-a_0\right\rvert<\delta \Rightarrow (-\alpha_0<\arg(b_1)-\arg(b_0)<\alpha_0)$. Аналогично получается $(-\alpha _0<\arg(c_1)-\arg(c_0)<\alpha_0)$. И в итоге $\left\lvert\(\arg(b_1)-\arg(b_0))-(\arg(c_1)-\arg(c_0))\right\rvert<2\alpha_0$. Выбираем $\delta$ таким, чтобы $\alpha_0<\frac{\varepsilon}{2}$. И, вроде, по определению доказали. Похоже ли на правду?

-- 26.02.2018, 23:04 --

thething в сообщении #1294437 писал(а):

в условии не хватает указания, что $\gamma(t)\ne0$ $\forall{t}\in[0,1]$

Разве не то?

thething в сообщении #1294400 писал(а):

Пусть $\gamma:[0, 1]\to\mathbb{C}\setminus\left\lbrace0\right\rbrace$ - путь

thething в сообщении #1294437 писал(а):

взять функцию $\varphi(t)=\varphi_0+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\frac{y'(\tau)x(\tau)-x'(\tau)y(\tau)}{x^2(\tau)+y^2(\tau)}d\tau$

Но если путь с самопересечением, то разным $t$ соответствует одни и те же $x,y$, а значит и одинаковое значение предлагаемой функции? Но, вроде, должны разные.

-- 26.02.2018, 23:17 --

Моя идея для пункта а) такая: в окрестности каждой точки $\gamma (t_0)$ задать функцию, состоящую из непрерывных ветвей. Затем покрыть $[0,1]$ окрестностями с данными функциями и склеить в пересечениях. С $\arctg$ погорячился. Надо поаккуратнее. Вот так: $\Phi:=\begin{cases} \arctg\frac{y(t)}{x(t)}+2\pi n,&\text{если $x(t),y(t)>0$ или $x(t)>,y(t)<0$;}\\ \pi + \arctg\frac{y(t)}{x(t)}+2\pi n,&\text{если $x(t),y(t)<0$ или $x(t)<,y(t)>0$;}\\ \frac{\pi}{2}+2\pi n, &\text{если $x(t)=0, y(t)>0$;}\\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n, &\text{если $x(t)=0, y(t)<0$;}\\ \end{cases}$

[thething]

Nickspa в сообщении #1294578 писал(а):

Разве не то?

Упс

Nickspa в сообщении #1294578 писал(а):

Но если путь с самопересечением, то разным $t$ соответствует одни и те же $x,y$, а значит и одинаковое значение предлагаемой функции? Но, вроде, должны разные.

При разных $t$ интегралы будут принимать разные значения.

Теперь по Вашей формуле надо доказывать непрерывность в точках, в которых происходит переход от одной формулы к другой. Преимущество подхода, который предложил я, в том, что формула всего одна. Плюс, тогда задача б) получается вообще халявная, т.к. там надо будет только сослаться на теорему о непрерывности интеграла, зависящего от параметра.

Nickspa в сообщении #1294578 писал(а):

Моя идея для пункта а) такая: в окрестности каждой точки $\gamma (t_0)$ задать функцию, состоящую из непрерывных ветвей. Затем покрыть $[0,1]$ окрестностями с данными функциями и склеить в пересечениях.

Чтобы было понятно всем, изложите эту идею математически, как я в своем предыдущем сообщении (правда, я там не до конца изложил, оставил Вам кое-что на подумать, чтобы не сказали, что я привожу полное решение). Те рассуждения, кстати не зависят от того, какой формулой пользоваться в п. а).
В вашем решении п. б) меня снова смущает то, что Вы никак не используете формулу ветви (хотя задачи взаимосвязаны) и не используете условие

Nickspa в сообщении #1294388 писал(а):

вне множества $[\gamma]:=\left\lbrace\gamma(t):t\in[0, 1]\right\rbrace$

[Nickspa]

Зададим в окрестности $\delta$ точки $t_0$ функцию $\Phi(t)$ (в предыдущем посте). Теперь у меня в окрестности каждой точки есть непрерывная функция, состоящая из счётного числа ветвей. Далее покрываем интервалами $[0,1]=\bigcup\limits_{i}^{}U_i$. Выбираем конечное покрытие. Пусть $\gamma (U_i)\cap \gamma (U_j)=\gamma (W)$. Тогда $\forall t\in W: \Phi_i(t)-\Phi_j(t)=2\pi k$ (так как это аргументы одной точки). Берем $k=0$. В итоге, каждая ветвь $\Phi_i$ непрерывна, так как непрерывна в окрестности каждой точки, а на пересечении окрестностей равенство. Где-то не прав и заблуждаюсь?

[thething]

Nickspa в сообщении #1294641 писал(а):

Тогда $\forall t\in W: \Phi_i(t)-\Phi_j(t)=2\pi k$ (так как это аргументы одной точки)

Должно быть $2\pi{k(t)}$, т.к. в разных точках может быть разное число "проворотов". См. выше, я описывал, что с этим надо сделать.

Nickspa в сообщении #1294641 писал(а):

Берем $k=0$.

Почему?
Вообще, все рассуждения про окрестности излишни. Посмотрите мое сообщение, где я про единственность расписывал, там ровно то, что Вам и надо (только начальное условие можно выкинуть). Пока же у Вас много лишних слов, как мне кажется.

[Nickspa]

Покопался в интернете. Вот что нашел:

http://new.math.msu.su/tffa/lectures/RUNGEMERGlec2012.pdf

Там на 23-ей странице набросок решения. Похоже на моё, но зачем-то нужна равномерная непрерывность, не пойму зачем? И верно ли в целом?

[thething]

Ссылка какая-то странная. Если Вы про пункт а), то у Вас уже практически все готово, мелочи остались, типа проверки угла (напоминаю, что аргумент задается через систему косинусов-синусов), проверки непрерывности в точках деления. Ну и насчет связи ветвей, все-таки никакие окрестности не нужны. Если это насчет п. б), то, Вам обязательно надо использовать все условия задачи, а то получается, что условия эти задаче и ни к чему. Хотя вот в интегральном виде оба условия (явный вид ветви и область определения) очень даже в тему и без них никуда.

Что в а), что в б) никакой равномерной непрерывности не требуется (ну или она получается как следствие теоремы Кантора, что непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна)

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Сделайте что-нибудь со ссылкой в предпоследнем сообщении, в ее нынешнем виде она беполезна.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[thething]

Nickspa в сообщении #1294656 писал(а):

И верно ли в целом?

Конечно, в целом верно, а детали извольте додумать самостоятельно. Не стал читать полностью, так что может там ранее все объясняется, но в целом, повторюсь, как-то усложнено. Больше насчет этого $2\pi{k}$ сказать мне нечего.

(Оффтоп)

Могу ошибаться, но Вы под влиянием этой статьи тоже все переусложняете. Возьмите за ориентир то, что писал я в своем третьем сообщении в этой теме (только про начальные условия всё забудьте, они ни к чему и нужны только если хочется доказать единственность) -- и увидите, как всё получается просто, а главное понятно и без лишних вопросов.

[vpb]

Сначала по существу задачи а), потом позволю себе написать несколько общих слов.
Определения. 1) Под многозначной функцией из $X$ в $Y$ будем понимать любое отображение из $X$ в $P(Y)$, где $P(Y)$ --- множество всех подмножеств множества $Y$.
2) Пусть $\Phi$ --- многозначная функция из отрезка $[a,b]$ (или интервала $(a,b)$) в ${\mathbb R}$. Будем говорить, что $\Phi$ непрерывна с точностью до сдвигов (на целые числа), если существует непрерывная функция $f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb R}$ такая, что $\Phi(x)=\{f(x)+m\mid m\in{\mathbb Z}\}$ $\forall\ x\in[a,b]$. В последнем случае будем называть $f$ непрерывной ветвью для $\Phi$ .

Лемма. Пусть $\Phi$ --- многозначная функция из $[a,b]$ (или $(a,b)$) в ${\mathbb R}$, непрерывная с точностью до сдвигов, и пусть $f_1$ и $f_2$ --- две непрерывные ветви для $\Phi$. Тогда существует $l\in{\mathbb Z}$ такое, что $f_2\equiv f_1+l$.
Доказательство. Для любого $x\in[a,b]$
$\Phi(x)=\{f_1(x)+m\mid m\in{\mathbb Z}\}=\{f_2(x)+m\mid m\in{\mathbb Z}\}$
откуда $f_2(x)-f_1(x)\in{\mathbb Z}$. Значит $f_2-f_1$ --- непрерывная функция из $[a,b]$ в ${\mathbb R}$, поэтому константа. $\square$

-- 28.02.2018, 09:26 --

Теорема. Пусть $\Phi$ --- многозначная функция из $[a,b]$ в ${\mathbb R}$, причем локально непрерывная с точностью до сдвигов, т.е. для любого $x\in[a,b]$ существует окрестность $(\alpha,\beta)\ni x$ ($[a,\beta)$ или $(\alpha,b]$, если $x=a$ или $b$ соответственно), такая, что $\Phi|_{(\alpha,\beta)}$ непрерывна с точностью до сдвига. Тогда $\Phi$ непрерывна с точностью до сдвига на всем $[a,b]$.
Доказательство. Для каждой точки $x$ выберем надлежащую окрестность $(\alpha,\beta)\ni x$. В силу компактности отрезка видим, что $[a,b]$ покрывается конечным числом интервалов
$[a,\beta_1),\ (\alpha_2,\beta_2),\ldots,(\alpha_{k-1},\beta_{k-1}),(\alpha_k,b]$
таких, что $\Phi$ непрерывна с точностью до сдвигов на каждом из этих интервалов. Уменьшая интервалы, если необходимо, можно считать, что каждый интервал $(\alpha_l,\beta_l)$ пересекается лишь с соседними интервалами $(\alpha_{l-1},\beta_{l-1})$ и $(\alpha_{l+1},\beta_{l+1})$.

Построим последовательность непрерывных функций $f_l:(\alpha_l,\beta_l)\longrightarrow{\mathbb R}$ таких, что $f_l$ --- ветвь для $\Phi$ на $(\alpha_l,\beta_l)$, и ограничения $f_l$ и $f_{l+1}$ на пересечение
$\tau_l=(\alpha_l,\beta_l)\cap(\alpha_{l+1},\beta_{l+1})$
совпадают. Последовательность строится по индукции. В качестве $f_1$ берем произвольную ветвь $\Phi$ на $[a,\beta_1)$. Пусть $f_l$ уже определено. Возьмем какую-либо ветвь $\Phi$ на $(\alpha_{l+1},\beta_{l+1})$, обозначим её $g$. Тогда обе $f_l|_{\tau_l}$ и $g|_{\tau_l}$ --- ветви $\Phi$ на $\tau_l$, поэтому различаются
на константу: $g|_{\tau_l}=f_l|_{\tau_l}+s$. Положим по определению $f_{l+1}=g-s$. Тогда ясно, что $f_{l+1}$ --- ветвь $\Phi$ на $(\alpha_{l+1},\beta_{l+1})$, и $f_{l+1}|_{\tau_l}=f_l|_{\tau_l}$.

Теперь определим функцию $f$ так: $f(x)=f_l(x)$, если $x\in(\alpha_l,\beta_l)$. Поскольку $f_l=f_{l+1}$ на $\tau_l$, это определение корректно. Также легко видеть, что $f$ непрерывна и является непрерывной ветвью для $\Phi$.
$\square$

-- 28.02.2018, 09:30 --

Нужное утверждение получается, если рассмотреть функцию $\Phi(t)=(1/2\pi){\rm Arg}(\gamma(t))$.

Теперь, значит, несколько общих слов.
1) Когда излагают комплексный анализ, многие топологические утверждения считаются наглядно очевидными, и не доказываются. Потому что если их каждый раз педантично доказывать, это будет отвлекать внимание от собственно комплексного анализа.
2) Всякие пути $\gamma$ обычно отнюдь не считаются гладкими, поэтому то, что написал thething, не проходит в принципе.
3) Привычка к продумыванию разных деталей возникает постепенно, с опытом (и образованием), так же как и способность к аккуратному изложению. Короче, то, что ТС на данном месте впал в ступор, это более чем естественно, особенно с учетом пункта 1).

-- 28.02.2018, 10:03 --

Nickspa
Если желаете получить дальнейшее вспомоществование (по пункту б), например), докажите самостоятельно аналогичное утверждение для многозначных функций на прямоугольнике. Рекомендую заглянуть в Б.В.Шабат, Введение в комплексный анализ, 3-е изд. (1985), т.1, пар.5, п.17, "Теорема Коши". Там есть картинка с квадратиками, наводящая на мысли.