Инвариантность антисимметричного тензора при поворотах

[Ascold]

Недавно обнаружил, что торможу над доказательством утверждения: абсолютно антисимметричный тензор ранга, равного размерности пространства, инвариантен при поворотах. Вот пусть у нас, к примеру, простейшее двумерное евклидово пространство и $a_{ik}=-a_{ki}.$ Пусть $\Lambda$ - матрица поворота из косинусов-синусов. Инвариантность антисимметричности тривиальна:

$$a_{ik}'=\Lambda_{im}\Lambda_{kn}a_{mn}=\Lambda_{kn}\Lambda_{im}a_{mn}=-\Lambda_{kn}\Lambda_{im}a_{nm}=-a_{ki}'.$$

Как зацепиться за условие $\operatorname{rank}(a)=dim(R^n)$, чтобы увидеть, что $a_{ik}'=a_{ik}?$
Всякие простые вещи типа того, что если $\operatorname{rank}(a)>n,$ то тензор нулевой, вижу.

[Slav-27]

Ascold в сообщении #1294147 писал(а):

Вот пусть у нас, к примеру, простейшее двумерное евклидово пространство и $a_{ik}=-a_{ki}.$

Это, с точностью до множителя, компоненты формы площади $\mathbf e^1 \wedge \mathbf e^2$. Площадь при поворотах сохраняется. При линейном преобразовании такая форма умножается на его определитель.

[pogulyat_vyshel]

Ascold в сообщении #1294147 писал(а):

абсолютно антисимметричный тензор ранга, равного размерности пространства, инвариантен при поворотах

Вообще-то тензорное поле $T$ на многообразии $M,\quad \mathrm{dim}\,M=m$ инвариантно относительно действия однопараметрической группы диффеоморфизмов $g^t:M\to M$ $\iff$ $L_vT=0$, где $L_v$ -- производная Ли вдоль векторного поля $v(x),\quad x\in M$, которое генерирует группу. В частности,

$$L_v\big(\rho (x)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m\big)=\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial x^i}dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m$$

В случае $M=\mathbb{R}^2$ со стандартными декартовыми координатами, для группы поворотов вокруг начала имеем $v(x)=(-x^2,x^1)^T$, откуда ясно, что ваше утверждение, вообще говоря, неверно.
Впрочем, если речь идет исключительно о линейной алгебре и все объекты определены на одном единственном векторном пространстве ($\rho$ не зависит от $x$, замены линейные и тп), то, как уже было сказано, все ok


Понятие "поворот" подразумевает наличие метрики, а метрику можно ввести по произволу. С какой стати она должна иметь отношение к дифференциальной форме? Это я к тому, что утверждение выглядело странным с самого начала

[Ascold]

pogulyat_vyshel в сообщении #1294315 писал(а):

Впрочем, если речь идет исключительно о линейной алгебре и все объекты определены на одном единственном векторном пространстве ($\rho$ не зависит от $x$, замены линейные и тп), то, как уже было сказано, все ok

Понятие "поворот" подразумевает наличие метрики, а метрику можно ввести по произволу. С какой стати она должна иметь отношение к дифференциальной форме? Это я к тому, что утверждение выглядело странным с самого начала

Утверждение это я встретил давно-давно во втором томе Ландау, и оно касалось неизменности части тензора электромагнитного поля при преобразованиях Лоренца, записанных в виде "поворота" на "угол", задаваемый равенством $\th\psi=v/c,$ так что и векторное пространство там одно, и метрика задана.