Граждане, не рассуждайте о том, чего не знаете. Очень просто занумеровать все выводы какой-нибудь теории (например ZF). Вывод -- это просто дерево формул, построенное из аксиом с помощью правил вроде modus ponens. Затем выписываем утверждение "не существует вывода формулы
" и вот мы записали утверждение о непротиворечивости ZF (в языке формальной арифметики, на самом деле, тут даже не нужен язык теории множеств). Дальше верно одно из двух: или ZF непротиворечива и тогда это утверждение в ней доказать нельзя (теорема Гёделя), или ZF противоречива и тогда в ней можно доказать что угодно. Непротиворечивость ZF ниоткуда не видна, получена она из соображений, близких к религиозным, никакой физический опыт нас не убеждает в существовании диковинных зверей, о которых учит ZF.
(натуральные числа можно считать строками над алфавитом из одного элемента). Язык богаче на один символ, аксиом чуть больше, но зато можно намного удобнее описать строки над любыми другими алфавитами и строки из таких строк.