Что есть предел стрелки (категории)?

[пианист]

Разбираюсь с пределами.
Во всех текстах приводятся примеры $1$ - предел пустой диаграммы, произведение - предел диаграммы без стрелок, уравнитель.. А вот что такое предел простейшей диаграммы
$a \stackrel{f}{\to} b$
нигде не объясняют ;( ну или я не нашел.

[apriv]

Потому что это несложное упражнение на понимание определение предела (как и предел пустой диаграммы, например). Посмотрите на определение и должно стать понятно.

[пианист]

Такой типа педагогический заговор молчания (даже в качестве упражнения не предлагать, чтобы сами догадались)?
Ну, может быть.
В таком случае извиняюсь за невольный спойлер.

[apriv]

Не очень понятно, о каких именно «всех текстах» идёт речь; в книге Маклейна такое упражнение сформулировано.

[пианист]

Спасибо, Вы меня успокоили.
А то я уж думал - открыл важную тайну.
;)

[arseniiv]

Раз это простая задача, нестрашно сказать ответ.

(Внутри)

У меня получилось, что это «график морфизма»: для Set это будет график функции. Раз известны пулбэки, можно взять пулбэк интересующего $f$ с подходящим тождественным морфизмом, будет изоморфно.

А если теперь взять копредел, аналогично получится с пушаутом, но какое-то особое имя этому в голову не приходит.

Я в категориях пока не разбираюсь, так что поправляйте на здоровье.

[apriv]

arseniiv в сообщении #1294347 писал(а):

Раз это простая задача, нестрашно сказать ответ.

Я не очень понял, что там написано, но это не очень похоже на правильный ответ.

[пианист]

Раз пошла такая пьянка, вот мой вариант:

(Оффтоп)

$a$ со стрелками $id_a$ и $f$

[arseniiv]

apriv
Ясно. Вот как можно рассуждать, как мне показалось. Пусть есть пулбэк диаграммы $X\stackrel{f}{\to}Y\stackrel{\mathrm{id}}{\gets}Y$, и это $(A,a_X,a_Y)$. Значит, $f\circ a_X = \mathrm{id}_Y\circ a_Y = a_Y$. Притом раз это пулбэк, для любых $(A',a'_X,a'_Y)$ с тем же свойством есть единственное $a'\colon A'\to A$ и выполняется $a_X\circ a' = a'_X$, $a_Y\circ a' = a'_Y$. Это и предыдущее — в точности те же требования, что и для предела диаграммы $X\stackrel{f}{\to}Y$, так что он тоже есть и является $(A,a_X,a_Y)$; ну и обратно, любой предел такой диаграммы выходит пределом соответствующей пулбэчной.

Потом, для такого пулбэка в Set будет $A = \{(x,y) : f(x) = \mathrm{id}_Y(y) = y, x\in X,y\in Y\}$. А это график функции $f$. (Ну и $a_X,a_Y$ будут ограничениями проекций из $X\times Y$ на $A$.)

Наверно, я зря написал слишком образное «график морфизма», насмотревшись на Set: конечно, и тут, и в любой категории $A\cong X$ с изоморфизмом $a_X$, об этом я как-то подумал только сейчас. Наверно, вы сразу же имели в виду $X$ и потому удивились.

[iou]

apriv в сообщении #1294360 писал(а):

Я не очень понял, что там написано, но это не очень похоже на правильный ответ.

Правильный ведь. Предел стрелки $f: A \to B$ в категории множеств изоморфен подмножеству $A \times B,$ образованному такими парами $(a, b),$ что $b=f(a),$ то есть парами $(a, f(a)),$ а это, собственно, "график морфизма." Но легко видеть, что этот объект изоморфен $A.$

arseniiv в сообщении #1294347 писал(а):

А если теперь взять копредел, аналогично получится с пушаутом, но какое-то особое имя этому в голову не приходит.

Копредел этой диаграммы (опять в категории множеств) является фактормножеством $A \amalg B$ по наименьшему отношению эквивалентности, содержащему $(a \sim f(a)).$ То есть для каждого элемента $b \in B$ склеиваются все элементы из $f^{-1} (b),$ поэтому он изоморфен $B.$

Но, в данном случае, конечно, проще это просто понять из определения, угадав заранее ответ.

[apriv]

iou в сообщении #1294397 писал(а):

Правильный ведь.

Да, действительно. Я как-то не ожидал использования специфики категории множеств в такой задаче. А «график морфизма» интересует нас обычно как подобъект в $A\times B$, потому что сам по себе он изоморфен $A$.

[arseniiv]

apriv в сообщении #1294729 писал(а):

А «график морфизма» интересует нас обычно как подобъект в $A\times B$

Да, я решил ничего не говорить про подобъекты, потому что что-нибудь бы сказал не то. Эх, надо уже будет сесть и разобраться с основами.