Продолжение через аналитическую кривую

[Pallant]

Две аналитические кривые $A$, $B$ на комплексной плоскости $w$ встречаются под углом $\frac{2\pi}{3}$ (на рисунке касательные точечным пунктиром). Отобразим конформно сектор круга с углом $\frac{2\pi}{3}$ на закрашенную область плоскости $w$, так, чтобы отрезки $a$, $b$ перешли соответственно в кривые $A$, $B$. Продолжим согласно принципу симметрии отображение $f$ через отрезок $a$, при этом отрезок $c$, симметричный отрезку $b$ относительно $a$, отобразится в кривую $C$. Продолжим еще отображение $f$ из закрашенного сектора через отрезок $b$, при этом отрезок $c$, симметричный отрезку $a$ относительно $b$, отобразится в кривую $C'$. Будут ли кривые $C$ и $C'$ совпадать? Тогда продолженное отображение $f$ будет конформным в круге.



Проводил эксперимент с помощью циркуля для случая, когда обе аналитические кривые -- дуги окружностей разных радиусов -- плюс в пользу гипотезы, что $C$ и $C'$ совпадают.

Понятно, что область, симметричная относительно кривой $A$ или $B$ закрашенной области $w$-плоскости, не зависит от отображения $f$.

Видимо эквивалентная задача -- показать, что гомеоморфное отображение кривой $ab$ на кривую $AB$ можно продолжить до голоморфного (другими словами, отобразить конформно круг из $z$-плоскости на некоторую область, так, чтобы отрезки $a$, $b$ перешли соответственно в кривые $A$, $B$).

[vpb]

В принципе симметрии идет речь про ситуацию, когда область $D$ конформно отображается на $D'$ и граница $\partial D$ содержит участок $\gamma$, являющийся дугой окружности или отрезком прямой, причем образ $\gamma$ при рассматриваемом отображении --- тоже дуга окружности или отрезок. А у Вас нечто другое.

[Pallant]

Отображение можно продолжать аналитически через аналитическую дугу (не только отрезок или дугу окружности), соответствующую теорему можно найти, например, у [Лаврентьев, Шабат (4-е издание) Гл.2 параграф 3 "Принцип симметрии и отображение многоугольников" Теорема 4 "Принцип аналитического продолжения".]

[vpb]

Pallant в сообщении #1293914 писал(а):

Отображение можно продолжать аналитически через аналитическую дугу (не только отрезок или дугу окружности), соответствующую теорему можно найти, например, у [Лаврентьев, Шабат (4-е издание) Гл.2 параграф 3 "Принцип симметрии и отображение многоугольников" Теорема 4 "Принцип аналитического продолжения".]

Мдя... Это я, так сказать, ошибся... Посчитал свои знания комплексного анализа достаточно обширными, без оснований к тому.

[DeBill]

Pallant в сообщении #1293854 писал(а):

для случая, когда обе аналитические кривые -- дуги окружностей разных радиусов

Ну, это не критично: инверсией (др.линейным отображением) окружности можно перевести в прямые, и тогда из свойства "симметрия" для др.-линейных следует, что все хорошо.
Но в общем случае?
Без ограничения общности, можно считать (в некой карте $z$) кривую $\gamma_1$ совпадающей с осью абсцисс (и тогда симметрия относительно нее есть просто комплексное сопряжение $\sigma$), а в некоторой карте $w=g(z)$ -кривую $\gamma_2$ совпадающей с осью абсцисс (и тогда симметрия относительно нее есть также комплексное сопряжение $\sigma$), надо лишь сказать, что $g'(0) = \lambda^2, \lambda =\exp(-\frac{2\pi i}{3})$. Условие совпадения симметричных кривых тогда можно записать так: отображение $G=g \sigma g^{-1} \sigma g$ переводит вещ. ось в себя. Это равносильно тому, что $G \sigma = \sigma G$, откуда $\sigma g \sigma g^{-1} \sigma g \sigma g^{-1} \sigma g \sigma g^{-1} =id $,или
$\Phi \circ \Phi \circ \Phi =id$, где $\Phi =\sigma g \sigma g^{-1} $. Но это - сто пудов - не всегда так.
Rem. Ясно, что "аналитический тип" пары вещ-аналитических кривых, пересекающихся под нужным углом, полностью задается отображением $g$ (имеющим нужную линейную часть). Так что случай совпадения - описывается ровно теми $g$, для которых $\Phi$ - "триволюция"
Пример: $g(z) = \lambda^2 (z +f(z))$, где f(z) =iz^2$ (не проверял - громоздко, но, думаю, не получится триволюция. Забавно, что для вещественно-аналитического $z+f(z)$, да и для дробно -линейного (в этих случаях как раз легко считаются композиции), - получится)

[DeBill]

А, проверил: при $f(z) = kz^4 +...$ будет $\Phi^{[3]}(z)=z(1+3mz^3+...), m=\bar{k}-k$, и при невещественном $k$, это - не триволюция (совпадения кривых не будет)

[Pallant]

Кривая $\gamma_1$ -- имеется в виду кривая $A$? или кривая $AB$?
Что значит "в некой карте"?

[DeBill]

Pallant в сообщении #1294125 писал(а):

Кривая $\gamma_1$ -- имеется в виду кривая $A$

Да.

Pallant в сообщении #1294125 писал(а):

Что значит "в некой карте"?

При голоморфном отображении ("замене координат"), симметрия относительно кривой переходит в симметрию относительно ее образа (пр-п симметрии). Поэтому можно работать в любых удобных координатах.
Кривая $A$ - аналитическая, т.е., является образом отрезка при неком аналитическом отображении $h: z \mapsto h(z)$. $h$ аналитически продолжается в окрестность отрезка. В координатах (карте) $z$, кривая $A$ - отрезок, и симметрия относительно нее - обычная симметрия относительно прямой.

-- 24.02.2018, 20:48 --

Pallant в сообщении #1293854 писал(а):

Будут ли кривые $C$ и $C'$ совпадать? Тогда продолженное отображение $f$ будет конформным в круге.

СОвпадения кривых для этого недостаточно: может получиться неоднозначность...
Но, мне кажется, при выполнении того условия "с триволюцией", отображение "сектора" на сектор можно подработать так, чтобы получилось хорошо.

[Pallant]

DeBill

Строим аналитическое отображение $h$ отрезка вещественной оси $A_z$ на аналитическую кривую $A$. Продолжаем аналитически это отображение в окрестность отрезка $A_z$. Теперь прообразом аналитической кривой $B$ при голоморфном отображении $h$ является некоторая аналитическая кривая $B_z$.
Сейчас я правильно понимаю отображение $h$?

Цитата:

надо лишь сказать, что $h'(0)=e^\frac{-4\pi i}{3}$

Имеется в виду что в z-плоскости карты $h$ отрезок $A_z$ и $B_z$ встречаются в начале координат?
Пусть, но зачем такая производная в нуле?

[DeBill]

Pallant в сообщении #1294169 писал(а):

Сейчас я правильно понимаю отображение $h$?

Да. А теперь сделаем еще то же самое, но с кривой $B$, и вот эта карта пусть есть $w_1=h_1(w)$ (букву $w$ Вы, увы, заняли), и пусть $w_1=g(z)$. Вот на линейную часть $g$ и накладывалось то ограничение.