Задача по линейной алгебре

[Xaositect]

Вчера из обсуждения алгоритма Штрассена вылезло неожиданное на первый взгляд соотношение. На олимпиадную задачу, наверное, не тянет, ибо может быть доказана тупой алгеброй при достаточном усердии, но найти красивое доказательство может быть интересно.

Доказать, что для бесследовых матриц размера $2 \times 2$, выполняется соотношение

$$\operatorname{tr}(ABC) = k \det \begin{bmatrix} a_{11} & b_{11} & c_{11} \\ a_{12} & b_{12} & c_{12} \\ a_{21} & b_{21} & c_{21} \end{bmatrix},$$

где $k$ - некоторый ненулевой коэффициент.

(Доказательство)

По теореме Гамильтона-Кэли, для бесследовой $2 \times 2$ матрицы $A$ выполняется $A^2 + \det(A) \operatorname{id} = 0$, откуда $\operatorname{tr}(A^2B) = -\det(A) \operatorname{tr}(B) = 0$. Так как $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)$, то же справедливо для $\operatorname{tr}(ABA)$ и $\operatorname{tr}(BA^2)$. Отсюда, $\operatorname{tr}(ABC)$ есть знакопеременная трилинейная форма на трехмерном пространстве бесследовых матриц, то есть пропорциональна определителю.