Вопрос по теории последовательностей Фарея

[maximk]

Помогите пожалуйста найти ошибку в случае её присутствия.
В дальнейшем будем обращаться к фактам из статьи Стечкина "Ряды Фарея".

Пусть $H_n$ - ряд Фарея порядка n.

$h_\nu \in H_n$,

$h_\nu (n) = h_\nu$,

$\delta_\nu = h_\nu - \frac{\nu}{\Phi}$,

$\nu = 1, ..., \Phi$,

$\Phi=\Phi (n) = \sum\limits_{1}^{n}\varphi (k)$ - сумматорная функция Эйлера, $\varphi (k)$ - функция Эйлера.

$N=\Phi+1$,

$g(x)=x-[x]-\frac{1}{2}=\left\lbrace x \right\rbrace -\frac{1}{2}$, $\left\lbrace x \right\rbrace$ - дробная часть числа $x$, $\left\lbrace x \right\rbrace\leqslant1$.

$S_2 (n) = (\sum\limits_{\nu=1}^{N} |\delta_\nu|^2)^{1/2} $.

Нам потребуется известная формулировка гипотезы Римана в следующем виде (указывается в статье Стечкина "Ряды Фарея").

$RH \Longleftrightarrow S_2(n) = O_\varepsilon (n^{-1/2} + \varepsilon)$ ($\forall \varepsilon>0$).

Обращаясь к статье Стечкина, имеем
$\delta_m=h_m-\frac{m}{\Phi}=h_m-\frac{m}{N-1}={(N-1)}^{-1} (\sum\limits_{d=1}^{n} g(dh_\nu)M(\frac{n}{d})+\frac{1}{2})$.

Возводя в квадрат и суммируя по $\nu$ от 1 до N, получим

$\sum\limits_{\nu=1}^{N} {\delta_\nu}^{2}={(N-1)}^{-2} \sum\limits_{\nu=1}^{N} (\sum\limits_{d=1}^{n} g(dh_\nu)M(\frac{n}{d})+\frac{1}{2})^{2}\leqslant$,

Имеем $\sum\limits_{d=1}^{n} M(\frac{n}{d})=1$, $g(dh_\nu)\leqslant1$,

$\leqslant {(N-1)}^{-2} \sum\limits_{\nu=1}^{N} (\sum\limits_{d=1}^{n} M(\frac{n}{d})+\frac{1}{2})^{2}={(N-1)}^{-2} \sum\limits_{\nu=1}^{N} (1+\frac{1}{2})^{2}=\frac{9}{4}N{(N-1)}^{-2}$. (*)

Для $N$ известна такая оценка: $N=\frac{3}{{\pi}^{2}}{n}^{2}+O(n \ln n)$.

Тогда с учётом этой оценки и (*) имеем

$S_2(n) = O_\varepsilon (n^{-1/2} + \varepsilon)$ ($\forall \varepsilon>0$).

[maximk]

$S_2(n)\leqslant{(\frac{9}{4}N{(N-1)}^{-2})}^{1/2}=\frac{3}{2}{N}^{1/2}{(N-1)}^{-1}=\frac{3}{2}{({N}^{1/2}-{N}^{-1/2})}^{-1}$.
$|\frac{S_2(n)}{{n}^{-1/2+\varepsilon}}|=|S_2(n){{n}^{1/2-\varepsilon}}|\leqslant|\frac{3}{2}{({N}^{1/2}-{N}^{-1/2})}^{-1}{n}^{1/2-\varepsilon}|=\frac{3}{2}|\frac{{n}^{1/2-\varepsilon}}{{N}^{1/2}-{N}^{-1/2}}|$.

Ясно, что при $n\to \infty$ $N$ растёт быстрее, чем $n$, а

$\frac{3}{2}|\frac{{n}^{1/2-\varepsilon}}{{N}^{1/2}-{N}^{-1/2}}|$ ограничена константой.

[Sonic86]

(Оффтоп)

я отвечу, хотя я зарекся

maximk в сообщении #1293138 писал(а):

$S_2 (n) = (\sum\limits_{\nu=1}^{N} |\delta_\nu|^2)^{1/2} $.

слева $n$ маленькое, справа - $N$ большое. Но это ладно. А вот это:

maximk в сообщении #1293138 писал(а):

$\delta_m=h_m-\frac{m}{\Phi}=h_m-\frac{m}{N-1}={(N-1)}^{-1} (\sum\limits_{d=1}^{n} g(dh_\nu)M(\frac{n}{d})+\frac{1}{2})$.

в правой части стоит неизвестное никому $g$ и несвязанный индекс $\nu$. А $M$ - это конечно же функция Мертенса?
Статью не читал.

[maximk]

Sonic86, да, $M(n)$ - функция Мертенса.
На счет того, что слева $n$, а справа $N$ - они связаны, $N=1+\Phi(n)$, что указано в обозначениях перед вычислениями в моём первом сообщении этой темы, как и указано, что за никому неизвестная функция $g$ (это есть и в статье, там есть и формулы, на основе которых я провожу оценки, на странице 3 документа).
На счет $\nu$, да, опечатка, там должен быть индекс $m$.

[maximk]

Ключевые факты, что здесь используются, находятся на 5 странице документа статьи Стечкина.
На 3 странице находится сама формулировка RH в этих терминах.

[Ribin]

maximk в сообщении #1293138 писал(а):

Имеем $\sum\limits_{d=1}^{n} M(\frac{n}{d})=1$, $g(dh_\nu)\leqslant1$,

Функция $M$ принимает же не только положительные значения, поэтому умножение на $g(dh_{\nu})$ может увеличить сумму, вроде в этом проблема.

[maximk]

Ribin, да, возможно вы и правы.

И еще идейка появилась. Наверняка здесь тоже не всё так гладко.
Что если оценить $\sum\limit_{d=1}^{n} g(dh_m)M({\frac{n}{d}})$ снизу через тот факт, что $M(x)\geqslant -x$, тогда $\sum\limit_{d=1}^{n} g(dh_m)M(\frac{n}{d})\geqslant -n\sum\limit_{d=1}^{n} \frac{1}{d}$, при этом $\sum\limit_{d=1}^{n} \frac{1}{d}=\ln n + \gamma + O(\frac{1}{n})$, где $\gamma$ - константа Эйлера. Возводя в квадрат $\delta_m$, суммируя по m от 1 до N, получим опровержение RH.
Возможно здесь есть грубый фрагмент невнимательности, а может он кроется в вопросе о правомерности избавляться от функции $g$, уменьшая произведение $gM$. Здесь ведь тонкость в том, как могут вести себя значения функции Мёбиуса при умножении на значения функции $g$.
Если в данном случае не удаётся использовать тот факт, что $M(x)\geqslant -x$, возможно достаточно будет использовать более слабую оценку, где вместо $-x$ будет стоять $-x^k$, где $k>1$?

__________________
Похоже, что для реализации подобной идеи $M(x)\geqslant -x$ будет мало.

Чушь написал.