Бесконечное деление кроликов

[grizzly]

$F_n$ -- числа Фибоначчи.
1. Доказать, что для любого $S\in \mathbb N, S>1, $ число $F(S)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac {F_n}{S^n}$ рационально.
2. Найти это число.

[EtCetera]

$F(S)=g(S^{-1})$, где $g(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}F_n x^n=\dfrac{x}{1-x-x^2}$ — производящая функция последовательности чисел Фибоначчи. Отсюда $F(S)=\frac{S}{S^2-S-1}$ и, следовательно, рационально.

[iifat]

(Оффтоп)

EtCetera в сообщении #1293741 писал(а):

производящая функция

У меня как-то сложилось впечатление, что аппарат производящих функций сходимостью не заморачивается, не? Я не то чтобы против, но вопросы сходимости (и радиуса ее) стоит рассмотреть отдельно. Мне лично лень, потому помещу, пожалуй, в оффтоп

[grizzly]

EtCetera
Спасибо!
Мне показали частный случай этой формулы здесь, но я сформулировал его так, что вся магия пропала :)

iifat
Ряд сходится для $S>\varphi$ и уже для $S=2$ это можно увидеть на пальцах.