Предельные циклы

[free_stud]

Столкнулся с таким вопросом.

Пусть имеется динамическая система на плоскости.

$x_t=P(x,y), y_t=Q(x,y)$

P, Q - многочлены. Если у системы есть замкнутая траектория, ограничивающая только одну особую точку системы, то можно ли утверждать, что замкнутая траектория - предельный цикл?
Особая точка, которую ограничивает замкнутая траектория, - простая и является фокусом или узлом.

Заранее спасибо тем, кто уделит внимание моему вопросу. Также буду признательным, если кто подскажет литературу по данному вопросу. Смотрел в книге Андронова А.А. и др. Качественная теория динамических систем второго порядка. Четкого ответа не нашел.

[DeBill]

free_stud
Т.е., вопрос о том: правда ли, что в некоторой окрестности замкнутой фазовой кривой нет других замкнутых фазовых кривых?
Для полиномиальных уравнений - правда.
Было доказано Дюлаком где-то в тридцатые годы.
В восьмидесятые нашли ошибку.
В 96-м, Ильяшенко и Экалль таки доказали это.
Смотреть "Теоремы конечности..." "Finetness theorems..."

[free_stud]

DeBill в сообщении #1293612 писал(а):

free_stud
Т.е., вопрос о том: правда ли, что в некоторой окрестности замкнутой фазовой кривой нет других замкнутых фазовых кривых?
Для полиномиальных уравнений - правда.

А почему это правда? Скажем, в окрестности центра могут быть неизолированные замкнутые фазовые траектории.

Спасибо за наводку на теоремы конечности. Попробую поискать, может, какая-нибудь мне подойдет.

[DeBill]

free_stud в сообщении #1293623 писал(а):

А почему это правда?

Ну, в книге Ильяшенко доказательство этого - порядка 300 страниц... (У Экалля - типа того же)

free_stud в сообщении #1293623 писал(а):

Скажем, в окрестности центра могут быть неизолированные замкнутые фазовые траектории.

Ой, кажется, я Вас - по своей невнимательности - запутал: все проблемы возникают лишь тогда, когда Ваша замкнутая кривая - сложный цикл (состоящий из особых точек и сепаратрис). В случае же когда это - просто фазовая кривая, все легко и просто: ее преобразование монодромии (сосчитанное по аналитической трансверсали) - аналитично (докажите!), так что оно либо тождественно, либо его неподвижная точка изолирована (пр. цикл). В первом случае, получим еще кучу замкнутых - ближе к особой точке. Продолжая эти рассуждения далее, дойдем до самой особой точки, и получим, что она - центр...
Ну, где-то так...

[free_stud]

DeBill, спасибо, я посмотрю про преобразование монодромии. Если нет явно заданной параметризации замкнутой траектории, можно ли его (преобразование монодромии) сделать?

Правильно ли я вас понял, что ссылаясь на работы Ильяшенко я могу заключить что моя замкнутая траектория - предельный цикл, поскольку особых точек на этой траектории нет и в области, ограниченной траекторией, нет центра?

[DeBill]

free_stud в сообщении #1293728 писал(а):

нет явно заданной параметризации замкнутой траектории, можно ли

Ну, во первых, параметризация есть - временем.
А, во вторых, она и не больно нужна: из непрерывной (гладкой) зависимости решения от начальной точки следует корректность определения пр-я монодромии (это есть во всех книжках по качественной теории ОДУ.

free_stud в сообщении #1293728 писал(а):

Правильно ли я вас понял, что ссылаясь на работы Ильяшенко

Лучше не надо - поскольку, скорее всего, этот случай - по его простоте - у него даже и не рассматривается . Лучше таки прямо доказать аналитичность пр-я монодромии (и это, видимо, тоже должно быть в учебниках) . Ну, и дальше немного повозиться - как я и писал ране.