Вынос степени НОК

[CMTV]

Здравствуйте!
Далее я буду обозначать $\text{НОК}(a,b)$ как $[a,b]$, а $\text{НОД}(a,b)$, как $(a,b)$.
Я пытаюсь доказать следующую теорему:

$[a^n,b^n]=[a,b]^n$

Доказательство $\Leftarrow$
Пусть $r = [a,b]^n$. Обозначим за $r' = [a,b]$:
$ r' = aq_1$
$ r' = bq_2 $

Получаем следующее:
$ r = r'^n = a^nq_1^n = b^n q_2^n$

А значит $ r = [a^n,b^n]$.

Доказательство $\Rightarrow$
Пусть $ l = [a^n,b^n] $.
$ l \ \vdots \ a^n \Rightarrow l \ \vdots a(a^{n-1}) \Rightarrow l \ \vdots \ a $
Повторяем те же операции и с $b$. Получается, что $l = \text{ОК}(a,b)$.

Пусть $ r = [a,b] $. Любое общее кратное (в том числе и $l$) всегда делится нацело на $\text{НОК}$: $ l = r s $

Распишем, чему равно $l$:
$ l = a(a^{n-1}q_1) $
$ l = b(b^{n-1}q_2) $

Распишем, чему равно $r$:
$r = ak_1$
$r = bk_2$

Подставляем записи $l$ и $r$ в формулу $l=rs$:

$a^{n-1}q_1 = k_1s$
$b^{n-1}q_2 = k_2s$

Пусть $k_1 \ \vdots \ a^{n-1}$ (а значит и на $a$) и $k_2 \ \vdots \ b^{n-1}$ (а значит и на $b$).
$ k_1 = a i_1 $
$ k_2 = b i_2 $

Тогда имеем следующее:
$ ab = [a,b](a,b) \Rightarrow ab = a^2i_1(a,b) \Rightarrow b = a\left(i_1(a,b)\right) $
$ \Rightarrow b \ \vdots \ a $

Таким же образом получаем, что $a \ \vdots \ b$. Получается, что $a = b$ и в этом случае доказываемое равенство очевидно: $ [a^n,a^n] = [a^n] = a^n = [a]^n $

Пусть $k_1 \ \vdots \ a^{n-1}$ и $k_2$ не делится нацело на $b^{n-1}$.
$ k_1 = a^{n-1}t $
Тогда получаем следующее:
$ ab = [a,b](a,b) \Rightarrow ab = a^nt(a,b) \Rightarrow b = a^{n-1}t(a,b) \Rightarrow (a,b) = a $
$ \Rightarrow b = a^n t $

Вернемся к доказываемому равенству:
$ [a^n,b^n] = [a^n,a^{nn}t^n] = a^n[1,a^{n(n-1)}t^n] = a^{nn}t^n $
$ [a,b]^n = [a,a^nt]^n = \left(a[1,a^{n-1}t]\right)^n= a^{nn}t^n $

Пусть $k_1$ и $k_2$ не делятся нацело на $a$ и $b$.

Вот тут мне и требуется помощь. Из этой ситуации ясно только одно - то что $s \ \vdots \ a^{n-1}$ и $s \ \vdots \ b^{n-1} $, то есть $s = \text{OK}(a,b)$.
А что с этим делать дальше?

[mihaild]

Не очень понятно, что значит $\Leftarrow$ и $\Rightarrow$ применительно к доказательству равенства.

CMTV в сообщении #1293599 писал(а):

$ r = r'^n = a^nq_1^n = b^n q_2^n$
А значит $ r = [a^n,b^n]$.

Почему?

В любом случае, если уже есть основная теорема арифметики, можно сильно проще: пусть простое число $p$ входит в $a$ в степени $x$ и в $b$ в степени $y$. В каких степенях оно входит в $a^n, b^n, [a, b], [a^n, b^n], [a, b]^n$?