Достаточное(?) условие равенства вероятностных распределений

[esko1779]

У меня возникли трудности с такой задачей. Трудности заключаются в том, что я недостаточно хорошо, видимо, умею работать со смешанными мерами (я имею в виду смеси дискретных, непрерывных и сингулярных распределений). Конкретнее, есть такая задачка:
Пусть $\xi$ и $\eta$ $-$ случайные величины. Верно ли, что если условие

$$\mathbb{E}[f(\xi)] = \mathbb{E}[f(\eta)]$$

выполняется для любой непрерывной и ограниченной функции $f(\cdot)$, тогда распределения $\xi$ и $\eta$ совпадают?

Мои продвижения заключаются в том, что я доказал, что это верное утверждение в случае, если:
$\xi$ и $\eta$ абсолютно непрерывны;
$\xi$ и $\eta$ дискретны;
$\xi$ дискретна, а $\eta$ непрерывна.

Я также знаю, что рассматривать функции $f(x) = x^n$ недостаточно, так как существует пример различных случайных величин, все моменты которых совпадают.

На этом месте я, собственно, кончился, потому что не умею работать со смесями дискретных, непрерывных и, тем более, сингулярных случайных величин. Я полагаю, что ответ на эту задачу положителен, но никак не подступиться к решению. Вот допустим, я возьму меру, связанную с $\xi$, скажем, $\mu$ и меру $\nu$, связанную с $\eta$. Как мне перевести данное в задаче утверждение на язык мер? Потому что я подозреваю, что ключ к решению состоит в этом. Заранее спасибо за любое содействие!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Работа форума» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: все бы хорошо, но в "Работе форума" этому совсем не место.

[esko1779]

Меня только что, вроде бы, осенило. Что если я возьму $f(x) = e^{itx}$ для произвольного $t$? Тогда $E[e^{it\xi}] = E[e^{it\eta}]$, то есть $\varphi_\xi(t) = \varphi_\eta(t) ~\forall t \in \mathbb{R}$, и характеристические функции совпадают. Но это уже достаточное условие для совпадения распределений, не так ли?

[--mS--]

Так. Но это из пушки по воробьям.

Совпадают распределения тогда и т.т., когда совпадают функции распределения. Функция распределения - это матожидание индикатора $g_t(\xi)=\mathbf I(\xi < t)$. Т.е. нам нужно доказать, что для каждого $t$

$$ \mathsf Eg_t(\xi) = \mathsf Eg_t(\eta). $$

Или хотя бы не для каждого, а в точках непрерывности функций распределения. К сожалению, индикатор

$$ g_t(x)=\begin{cases}1, & x<t\cr 0, & x\geqslant t\end{cases} $$

является хоть и ограниченной, но не непрерывной функцией. Зато он является поточечным пределом монотонно убывающей последовательности непрерывных и ограниченных функций

$$ g_{n,t}(x)=\begin{cases}1, & x<t\cr 1-n(x-t), & t\leqslant x<t+\frac1n\cr 0, & x\geqslant t+\frac1n\end{cases} $$

А дальше либо теорема о монотонной сходимости матожиданий, либо в лоб

$$ F_\xi(t) = \mathsf Eg_t(\xi) \leqslant \mathsf Eg_{n,t}(\xi) = \mathsf Eg_{n,t}(\eta) \leqslant \mathsf Eg_{n,t+\frac1n}(\eta) = F_{\eta}\left(t+\tfrac1n\right) $$

Аналогично - с другой стороны. Получаем в точках непрерывности обеих функций распределения их совпадение.

-- Ср фев 21, 2018 07:32:28 --

esko1779 в сообщении #1293512 писал(а):

Что если я возьму $f(x) = e^{itx}$

В условии шла речь о функциях $f:\mathbb R\to\mathbb R$, так что брать следует вещественнозначные косинусы и синусы, а не комплексную экспоненту.

[esko1779]

--mS-- в сообщении #1293513 писал(а):

Так. Но это из пушки по воробьям.

Совпадают распределения тогда и т.т., когда совпадают функции распределения. Функция распределения - это матожидание индикатора $g_t(\xi)=\mathbf I(\xi < t)$. Т.е. нам нужно доказать, что для каждого $t$

$$ \mathsf Eg_t(\xi) = \mathsf Eg_t(\eta). $$

Или хотя бы не для каждого, а в точках непрерывности функций распределения. К сожалению, индикатор

$$ g_t(x)=\begin{cases}1, & x<t\cr 0, & x\geqslant t\end{cases} $$

является хоть и ограниченной, но не непрерывной функцией. Зато он является поточечным пределом монотонно убывающей последовательности непрерывных и ограниченных функций

$$ g_{n,t}(x)=\begin{cases}1, & x<t\cr 1-n(x-t), & t\leqslant x<t+\frac1n\cr 0, & x\geqslant t+\frac1n\end{cases} $$

А дальше либо теорема о монотонной сходимости матожиданий, либо в лоб

$$ F_\xi(t) = \mathsf Eg_t(\xi) \leqslant \mathsf Eg_{n,t}(\xi) = \mathsf Eg_{n,t}(\eta) \leqslant \mathsf Eg_{n,t+\frac1n}(\eta) = F_{\eta}\left(t+\tfrac1n\right) $$

Аналогично - с другой стороны. Получаем в точках непрерывности обеих функций распределения их совпадение.

-- Ср фев 21, 2018 07:32:28 --

esko1779 в сообщении #1293512 писал(а):

Что если я возьму $f(x) = e^{itx}$

В условии шла речь о функциях $f:\mathbb R\to\mathbb R$, так что брать следует вещественнозначные косинусы и синусы, а не комплексную экспоненту.

Вообще, в условии не было ничего про вещественнозначность функции, но благодарю. Ваше решение получилось сильнее и математичнее :) В смысле, полезнее. Я понял, спасибо за помощь!

[--mS--]

И это рассуждение и другие примеры классов, "определяющих распределение", можно посмотреть в конце 6-й главы учебника А.А.Боровкова "Теория вероятностей". В частности, это - пример 1 из последнего параграфа 6-й главы.

[esko1779]

Спасибо и за это! В хорошей литературе по терверу у меня тоже был недостаток, хотя прослушал уже 4-5 курса различных уровней сложности. Всегда узнаёшь что-то новое :)