Касательная к двумерной кривой

[dmd]

Дана кривая $x-y^2+x^3 y-1008x^5 y^3+46x^7 y^{11}-x^{13} y^7-53=0$, на ней лежит точка $(3,2)$. Постройте (можно в любом мат.пакете) касательную прямую в этой точке без вычисления производной.

[iifat]

dmd в сообщении #1293258 писал(а):

касательную прямую в этой точке без вычисления производной

И как вы себе это представляете? Вот я, глядя на потолок, говорю: касательная прямая $y=5x-13$. И что есть, по-вашему, $5$?

[thething]

Если в мат. пакете, то имеется ввиду какое-то численное решение чтоли? Пусть будет так: у прямой $y=k(x-3)+2$ начинаем крутить $k$ с какого-то начального значения, например, дихотомией, до тех пор, пока вторая точка секущей не приблизится к первой на расстояние эпсилон. Для нахождения второй точки надо искать решение системы нелинейных уравнений, исходя из подходящего начального приближения.

(Оффтоп)

извращение какое-то

Может, ТС что-то конкретизирует: откуда задача, зачем, кто все эти люди..

-- 19.02.2018, 20:30 --

Вместо системы, конечно же можно решать одно нелинейное уравнение и даже не гадать над начальным приближением, а сравнивать все полученные корни с точкой касания.

[alcoholist]

Зачем тут пакеты? Раскрываем скобки в выражении

$$ (x+3)-(y+2)^2+(x+3)^3(y+2)-1008(x+3)^5(y+2)^3+46(x+3)^7(y+2)^{11}-(x+3)^{13}(y+2)^7-53, $$

оставляя только линейные члены. Получаем $ax+by$. Уравнение касательной $a(x-3)+b(y-2)=0$.

[dmd]

alcoholist

Верно!



Идея отсюда.

[alcoholist]

dmd в сообщении #1293327 писал(а):

Верно!

обоснование правильности такого решения использует бесконечно малые

[arseniiv]

dmd
И чем это «без вычисления производной»?

Подобным образом пользуются дуальными числами (ассоциативная алгебра над $\mathbb R$, получаемая добавлением элемента $\varepsilon$, $\varepsilon^2 = 0$), чтобы считать производные: для аналитической функции $f(a + b\varepsilon) = f(a) + f'(a)b\varepsilon$. При нахождении $(a + b\varepsilon)^n$, можно сказать, тоже просто отбрасываются квадратичные и более по $\varepsilon$ слагаемые.

И если взять вместо этой алгебры получаемую добавлением элемента, дающего 0 в более высокой степени, можно находить вторые и далее производные, ну и упомянутая в теме штука в обобщения совершенно нормально ложится. Связь с производной более чем очевидна, так что смысла говорить, что она тут не вычисляется, немного. (Или много? Если есть хорошая аргументация — буду рад увидеть и поправиться.)