Численно найти все корни уравнения

[DLL]

Речь идет про решение тригонометрического уравнения

$$ A \cos(kx) \sin(x) + \sin(kx) \cos(x) = 0. $$

Нужно найти все (например, первые 1000) его корни (положительные) с нужной точностью.
Если нарисовать график, задача тривиальная.
Но меня интересует как на практике решают такие задачи (вплоть до имплеметированной функции в пакете)

[Pphantom]

Ну, например, так:
1) зная $k$, выделяем один период (возможно, приближенный - при нецелых $k$ он может оказаться достаточно большим, правда, искать все корни в таком редко когда бывает надо);
2) на нем уединяем корни чем-нибудь вроде дихотомии;
3) затем находим корни чем-нибудь вроде метода Ньютона.

[DLL]

Цитата:

1) зная $k$, выделяем один период (возможно, приближенный - при нецелых $k$ он может оказаться достаточно большим, правда, искать все корни в таком редко когда бывает надо);

Да, k - нецелое число взятое из эксперимента скажем 4.291 плюс/минус эпсилон

[Евгений Машеров]

Задача распадается на две подзадачи:
- как найти тысячу корней;
- как найти корни с точностью до тысячной.
Вторая проще - задача прямо создана для Ньютона. А если кто больше любит дихотомию или regula falsi - тоже пойдёт! Найти приближение и уточнять.
Со первой - для данных условий, k несколько единиц, я бы разделил уравнение на $\cos kx\cos x$ и получил бы $\tg kx=a\tg x$. Затем в качестве начальных приближений брал бы точки, в которых $\tg kx=0$ (возможно, проверяя, не попали ли на точку разрыва правой части и слегка шевеля значение. В общем случае, когда k невелико, наверно, тупо бы шёл по x с малым шагом, ища перемены знака в $\tg kx-a\tg x$, можно немного сэкономить вычисления, не используя тригонометрические функции, а воспользовавшись рекуррентными соотношениями для синуса и косинуса.

[EXE]

DLL в сообщении #1293199 писал(а):

Но меня интересует как на практике решают такие задачи (вплоть до имплеметированной функции в пакете)

Присвойте конкретные значения А,k и воспользуйтесь стандартными функциями солидного матпакета. Начиная от указанной точки на оси oX, Вам найдут все решения, на какие хватит ресурсов. Точно знаю, такая есть у Maple. Спросите у пользователей, а пока конкретно не скажу.
(Можно не задавать А и k, тогда решений будет ещё больше.)

[Pphantom]

DLL в сообщении #1293220 писал(а):

Да, k - нецелое число взятое из эксперимента скажем 4.291 плюс/минус эпсилон

При такой точности думать вообще не надо. Можно довольно легко показать, что погрешность корня в такой ситуации тоже будет где-то в районе третьего знака после запятой (при $A \sim 1$), а тогда можно просто тупо просчитать значения левой части на сетке с соответствующим шагом и все.