Но почему as the sum, а не as а sum?
Потому что "sum" в данном случае понимается как математический оператор, который однозначно определен. См.
https://en.oxforddictionaries.com/definition/sumПеременной величиной же является количество слагаемых (поэтому перед first не стоит никакого артикля).
Сравните:
Numbers that can be expressed both as
the sum of first primes and as
the sum of first composites.
Numbers that can be expressed both as
a partial sum of
the primes and as
a partial sum of
the composites.
Во втором варианте стоит "a partial sum" и здесь уже "a" уместно, так как существует много частичных сумм. В то же время, там стоит "the primes" / "the composites" адресуя к (однозначно определённому) ряду простых / составных чисел.
