Закон противоречия в логике лишний?

[arseniiv]

Mikhail_K в сообщении #1292209 писал(а):

Фраза "либо истинно, либо ложно" не исключает возможности того и другого вместе.
Не только здесь, но и везде в математике. Фразы вида "либо $A$, либо $B$" в математических текстах чаще всего означают "либо $A$, либо $B$, либо то и другое вместе", а не "либо $A$, либо $B$, но не то и другое вместе".
Если, конечно, автор это специально не оговаривает.

По-моему, не так. Если я не вчитался, и выше закон исключенного третьего формулировался как «либо утверждение истинно, либо ложно», это должна быть неправильная формулировка. «Либо …, либо …» (также «или …, или …»), по моим наблюдениям, почти исключительно означает строгую дизъюнкцию (xor), а вот просто «… либо …» стоит на грани, и на него лучше не полагаться; «… или …» — однозначная нестрогая дизъюнкция (or).

Разве нет?

[epros]

arseniiv, это Вы уже уходите в область филологии. Понятное дело, что на естественном языке можно выразиться неоднозначно. Именно поэтому и вводятся формальные языки. А на формальном языке закон исключённого третьего и закон непротиворечия - разные. И есть логики без первого, но со вторым, а есть логики без второго, но с первым.

[arseniiv]

epros в сообщении #1292403 писал(а):

Понятное дело, что на естественном языке можно выразиться неоднозначно.

Понятно, я просто считал, что «либо, либо» — это практически однозначно строгая дизъюнкция, а Mikhail_K написал выше, что нет, так что я как минимум дополнил картину.

epros в сообщении #1292403 писал(а):

А на формальном языке закон исключённого третьего и закон непротиворечия - разные. И есть логики без первого, но со вторым, а есть логики без второго, но с первым.

Разумеется, и интуиционистскую, например, разновидность я даже упоминал выше. А вот логики без непротиворечия — хитрая и странная мне вещь, потому решил о них не заикаться, а то вдруг ещё спросят.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1292557 писал(а):

А вот логики без непротиворечия — хитрая и странная мне вещь, потому решил о них не заикаться, а то вдруг ещё спросят.

На ум сразу пришла квантовая логика

[epros]

arseniiv, пример логики без закона непротиворечия, но с законом исключённого третьего - нечёткая логика Л.Заде.

Sicker, в квантовой логике отказываются только от дистрибутивности конъюнкции по дизъюнкции. И с моей точки зрения - зря. По крайней мере, стандартное объяснение этого кажется неубедительным.

[arseniiv]

epros в сообщении #1292613 писал(а):

нечёткая логика Л.Заде

Это не одна логика, это семейство логик (хотя я бы тут ещё и мнительно кавычки поставил).

-- Пт фев 16, 2018 06:09:28 --

Есть ведь и более простые примеры, просто я не уверен, что помню названия. Одна была, где не выполняется в общем случае ex falso quodlibet.

[epros]

arseniiv в сообщении #1292750 писал(а):

Есть ведь и более простые примеры, просто я не уверен, что помню названия. Одна была, где не выполняется в общем случае ex falso quodlibet.

Угу. Т.н. паранепротиворечивые логики. Критикуют, вроде как, один только ex falso quodlibet, а в итоге отказываются и от закона непротиворечия, и от некоторых ещё более фундаментальных вещей.

В минимальной логике Йоханссона всё более аккуратно, он сравнительно с мейнстримным интуиционизмом отказался только от ex falso quodlibet и больше ни от чего. Закон непротиворечия у него есть.

[arseniiv]

Кстати, вы не изучали, как именно это у него получается? Нет на примете чего-нибудь короткого почитать, чтобы одновременно и в курс дела войти, и не делать больше, чем позволяет праздность уровня любопытства?

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1292750 писал(а):

ex falso quodlibet

Из лжи следует все что угодно?

[epros]

arseniiv в сообщении #1292896 писал(а):

Нет на примете чего-нибудь короткого почитать, чтобы одновременно и в курс дела войти, и не делать больше, чем позволяет праздность уровня любопытства?

На немецком устроит? I. Johansson. Der Minimalkalkul, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus. Compositio Mathematica, tome 4 (1937), p. 119–136.

Sicker в сообщении #1292930 писал(а):

Из лжи следует все что угодно?

В минимальной логике из лжи следует только отрицание чего угодно. Чтобы следовало что угодно, надо это отдельной схемой аксиом закладывать.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1292930 писал(а):

Из лжи следует все что угодно?

Мне эта фраза нравится в виде термина (используем же мы modus ponens), ещё и короткая.

epros в сообщении #1292984 писал(а):

На немецком устроит? I. Johansson. Der Minimalkalkul, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus. Compositio Mathematica, tome 4 (1937), p. 119–136.

Ой. Сам пока немецким не занимался, но в любом случае спасибо.

epros в сообщении #1292984 писал(а):

В минимальной логике из лжи следует только отрицание чего угодно.

О, даже это уже прояснило картину.

[arseniiv]

epros
Кстати, я вот открывал эту статью, но, конечно, не особо разобрался, какие из формул к чему относятся, но потом ночью уяснил, что если взять обычные интуиционистские аксиомы для $\to,\wedge,\vee,\bot$ (и определять отрицание как обычно $\neg A \equiv A\to\bot$) и убрать аксиому $\bot\to A$, то получается похожая система (при этом пришедшая ей на замену $\bot\to\neg A$ — это просто аксиома K). Это не она?

UPD: Она самая! https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_logic. И ведь преобразование-то очевиднейшее, $\bot\to A$ ведь и есть эссенция ex falso quodlibet — как я сразу не додумался. Ну, теперь осталось разобраться, есть ли у неё (почему бы и нет) Крипке-подобная и Гейтинг-подобная семантики. Помню, что вы не любите интерпретации, но если тоже что-то видели об этом, было бы вообще хорошо!

[epros]

arseniiv, $\bot\to\neg A$ - не аксиома. Оно выводится из $\beta \to (\alpha \to \beta)$ подстановкой $\bot$ вместо $\beta$.

[arseniiv]

Ну, а это как раз акси схема аксиом K. По имени комбинатора с соответствующим типом.

[PETIKANTROP]

Поправьте, пожалуйста, если не так мыслю.
Из определения "Закона противоречия": два несовместимых (противоречащих) суждения не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них ложно, следует исключение истинности двух противоречащих суждений об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении:
Х ≠ -Х (высокий ≠ невысокий, тактичный ≠ бестактный ) Ложь и Истина
и исключение истинности двух противоположных суждений об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении:
Х ≠ х (высокий ≠ низкий, тактичный ≠ грубый). Ложь и Ложь ( на самом деле средний, грубоватый)
А "Закон исключенного третьего": из двух высказываний «А» или «не А» — одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых формулирует отрицание другого, не могут быть одновременно ложными, - просто конкретизирует "Закон противоречия" в отношении противоречащих суждений.
Т.е. понятие противоречащих (взаимоисключающих) суждений уже содержит в себе "Закон исключенного третьего", и достаточно "Закон противоречия" дополнить словом "противоположные": два несовместимых (противоречащих или противоположных) суждения не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них ложно?