2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интегралы
Сообщение25.06.2008, 01:02 
Помогите с ходом решения интегралов:
Какую необходимо сделать замену для дальнейшего решения, уже все перебрал((

$$
\int {\frac{{\root 3 \of {arc\sin x} }}
{{\sqrt {1 - x^2 } }}} dx
$$

Посмотрите, правильно ли я сделал сравнение числителя исходной дроби полученной во 2-ом интеграле:
$$
\int {\frac{{2x^2  + 3x + 22}}
{{\left( {x^2  + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}} dx = \frac{{Ax + B}}
{{x^2  + 4x + 8}} + \frac{C}
{{x - 3}} = \frac{{Ax^2  - 3Ax + Bx - 3B + Cx^2  + 4Cx + 8C}}
{{\left( {x^2  + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}
$$
$$
\eqalign{
  
 22 = 8C - 3B  \cr 

  & 3 = 4C + B - 3A  \cr 

  & 0 = C + A \cr} 

$$

 
 
 
 Re: Интегралы
Сообщение25.06.2008, 01:17 
Аватара пользователя
Maxim_N писал(а):
$$
\int {\frac{{\root 3 \of {arc\sin x} }}
{{\sqrt {1 - x^2 } }}} dx
$$

Мне кажется, замена $t=\arcsin x$ так и просится в рот

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 06:49 
Аватара пользователя
Maxim_N писал(а):
Посмотрите, правильно ли я сделал сравнение числителя исходной дроби полученной во 2-ом интеграле:
$$ \int {\frac{{2x^2 + 3x + 22}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}} dx = \frac{{Ax + B}} {{x^2 + 4x + 8}} + \frac{C} {{x - 3}} = \frac{{Ax^2 - 3Ax + Bx - 3B + Cx^2 + 4Cx + 8C}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}} $$
22 = 8C - 3B
3 = 4C + B - 3A
0 = C + A
Все верно, кроме последней строки, которая неверна.

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 08:24 
Echo-Off Спасибо!!!
Brukvalub писал(а):
Все верно, кроме последней строки, которая неверна.

Я не правильно записал интеграл:
$$
\int {\frac{{2x^3  + 3x + 22}}
{{\left( {x^2  + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}} dx = ...
$$

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 08:28 
Аватара пользователя
Интеграл Вы записали правильно. Вы неправильно сосчитали строки. Попробуйте еще раз.

 
 
 
 Re: Я не правильно записал интеграл
Сообщение25.06.2008, 08:51 
Дробь $ \frac{{2x^3  + 3x + 22}} {{\left( {x^2  + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}$ является неправильно. Её следует разложить на многочлен (возможно нулевой степени) и правильную дробь, а затем раскладывать правильную дробь на простейшие дроби.

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 08:52 
Brukvalub писал(а):
Интеграл Вы записали правильно. Вы неправильно сосчитали строки. Попробуйте еще раз.

У меня получается так
$$
\eqalign{
 
 & x^0 :22 = 8C - 3B  \cr 
  
& x^1 :3 = 4C + B - 3A  \cr 
 
 & x^2 :0 = C + A  \cr 
 
 & x^3 :2 = 0 \cr} ???
$$

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 09:01 
Аватара пользователя
Так Вы ошиблись в записи исходного условия? Тогда см. подсказку GAA

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 09:19 
Правильно ли я понял, мне необходимо выполнить понижение степени?

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 09:27 
Аватара пользователя
Maxim_N писал(а):
Правильно ли я понял, мне необходимо выполнить понижение степени?
Нет. Нужно разделить числитель на знаменатель с остатком.

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 09:51 
т.е. должнополучиться так?

$$
\int {\left( {2 + \frac{{ - 2x^2  + 11x + 70}}
{{\left( {x^2  + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right)} dx
$$

 
 
 
 Re: Я не правильно записал интеграл
Сообщение25.06.2008, 10:00 
Чего Вы растерялись? Распишу подсказку GAA подробнее.
GAA писал(а):
Дробь $ \frac{{2x^3  + 3x + 22}} {{\left( {x^2  + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}$ является неправильно. Её следует разложить на многочлен (возможно нулевой степени) и правильную дробь, а затем раскладывать правильную дробь на простейшие дроби.

$$ \frac{2x^3  + 3x + 22}{(x^2  + 4x + 8)(x - 3)}=\underbrace{P_0+P_1x+P_2x^2+\ldots\mbox{\small ~стоп?}}+
\frac{Ax + B}{x^2  + 4x + 8} + \frac{C}{x - 3} = \ldots$$.
Теперь надо подумать и понять, что то, что я обнял фигурной скобкой, ограничивется всего навсего помянутым многочленом нулевой степени, т.е. $P_0$. Можно также попробовать понять, что $P_0=2$, и не заводить новую неизвестную. А дальше Вы умеете.

Добавлено спустя 1 минуту 6 секунд:

Опоздал... :D Ща проверю. Правильно. Ниже я просто балуюсь. Можно не обращать внимания.

$$\begin{array}{l}\dfrac{2x^3  + 3x + 22}{(x^2  + 4x + 8)(x - 3)}=
\dfrac{2x^3  +8x^2 +16x - 8x^2 -16x + 3x + 22}{(x^2  + 4x + 8)(x - 3)}=
\dfrac{2x(x^2  +4x +8) - 8x^2 -13x + 22}{(x^2  + 4x + 8)(x - 3)}=\\
=\dfrac{2x}{x-3}-\dfrac{8x^2  +13x -22}{(x^2  + 4x + 8)(x - 3)}\end{array}$$

$$\dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{2x-6+6}{x-3}=\dfrac{2(x-3)+6}{x-3}=2+\dfrac{6}{x-3}$$

$$\dfrac{8x^2  +13x -22}{(x^2  + 4x + 8)(x - 3)}=
\dfrac{8(x^2 +4x+8)-32x-64 +13x -22}{(x^2  + 4x + 8)(x - 3)}=
\dfrac{8}{x-3}-\dfrac{19x+86}{(x^2  + 4x + 8)(x - 3)}
$$

Не, побаловался, и хватит, делайте со своими A,B,C... Ответ будет такой муторный и противный, что прийдётся снова ошибку в условии заподозрить... Может, где плюсик с минусом перепутался...

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 10:34 
Всем откликнувшимся ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!!!

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group